三角形ABC中,a、b、c是三内角A.B.C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是A+2B的充要条件

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 13:10:17
三角形ABC中,a、b、c是三内角A.B.C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是A+2B的充要条件
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三角形ABC中,a、b、c是三内角A.B.C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是A+2B的充要条件
三角形ABC中,a、b、c是三内角A.B.C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是A+2B的充要条件

三角形ABC中,a、b、c是三内角A.B.C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是A+2B的充要条件
1、充分性,设已知a^2=b(b+c)
延长CA至E,使AE=AB,连结BE,EC=b+c,<ACB=<ECB,a/(b+c)=b/a,△BCA∽△ECB
<E=<ABC,<BAC=<E+<ABE,三角形EBA为等腰三角形,<E=<EBA,BAC=2<ABC,这是充分性.
2、必要性
设已知<A=2<B
同样,延长CA至E,使AE=AB,连结BE,
<BAC=<E+<ABE,EA=BA,三角形EBA为等腰三角形,<E=<ABC,<BAC=2<E=2<ABC,<ABC=<E,<ACB=<BCE,
△BCA∽△ECB
BC/EC=AC/BC,BC^2=EC*AC,EC=AB+AC
∴a^2=b(b+c)
证毕.

题目应该是"A=2B"吧?
充分性
a^2=b(b+c)
a^2=b^2+bc
b^2+c^2-a^2=-bc+c^2
cosA=-1/2+0.5(c/b)
cosA=-1/2+0.5(sinC/sinB)
2sinBcosA=-sinB+sin(A+B)
sinB=sinAcosB-sinBcosA
sinB=sin(A-...

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题目应该是"A=2B"吧?
充分性
a^2=b(b+c)
a^2=b^2+bc
b^2+c^2-a^2=-bc+c^2
cosA=-1/2+0.5(c/b)
cosA=-1/2+0.5(sinC/sinB)
2sinBcosA=-sinB+sin(A+B)
sinB=sinAcosB-sinBcosA
sinB=sin(A-B)
所以B=A-B或者B+A-B=π
B+A-B=π不可能
所以A=2B
必要性
由A=2B
∴sinA=sin2B
sinBcosC+sinCcosB=2sinBcosB
bcosC+ccosB=2bcosB
这里是射影公式bcosC+ccosB=a
a=2bcosB
a=2b[(a^2+c^2-b^2)/2ac]
a^2c=ba^2+bc^2-b^3
a^2(c-b)=bc^2-b^3
a^2=b(b+c)

收起

三角形ABC中,三内角A.B.C满足2B=A+C,且A 三角形ABC中,三内角A.B.C满足2B=A+C,且A 在三角形ABC中,A、B、C是三角形的三个内角,a、b、c是三内角对应的三边,已知b方+c方-a方=bc.(1)求角...在三角形ABC中,A、B、C是三角形的三个内角,a、b、c是三内角对应的三边,已知b方+c方-a方=bc.(1) 已知A,B,C为三角形ABC的三内角 在△ABC中,A,B,C是三角形的内角,a,b,c是三内角对应的三边,已知a=2√3,c=2,(sinAcosB)/(sinBcosA)=(2c-b)/b求∠A 已知三角形ABC中,三内角A,B,C的度数依次成等差数列,三边长为a,b,c依次成等比数列.判断三角形ABC形状 已知三角形ABC中,三内角A,B,C的角度.依次成等差数列,三边长a,b,c依次成等比数列,判断三角形ABC的形状 在三角形ABC中,已知三内角A,B,C成等差数列,且COSa,cosb,cosc也成等差数列,求三内角A,B,C 三角形ABC中,三内角ABC及其对边abc,正弦(A-B)=正弦B+正弦C,求角A,若a=6,三角形面积的? 在三角形ABC中,三内角分别是A,B,C,若sinC=2cosAsinB,则三角形ABC一定是我觉得是等腰直角三角形.对吗. 三角形ABC中,a、b、c是三内角A.B.C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是A+2B的充要条件 三角形ABC中,三内角成等差数列,1.诺b=7.a+c=13.求三角形面积 三角形计算角的问题（题中^表示平方）在三角形ABC中,A.B.C是三角形的三内角,a b c是三内角对应的三边,已知b^+c^-a^=bc./求角A的大小 /若sin^A＋sin^B＝sin^C,求角B的大小. 已知,在三角形ABC中,内角A>内角B>内角c,且2倍内角A:5倍内角C,求内角C的取值范围. 三角形ABC中,三内角∠A∠B∠C的对边分别为abc,c=10,且cosA/cosB=b/a=4/3求证三角形ABC是直角三角形,急! 三角形ABC中,三内角A,B,C的正弦值的平方成等差数列,则角B的取值范围是 三角形ABC中 已知a=2bcosC 那么三角形ABC内角B,C之间关系... 在三角形ABC中,ABC为三个内角abc为三条边,a-b=4,a+c=2b最大角为120度,求三边长?