3个连续自然数的立方和能被9整除 用数学归纳法作

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 07:15:51
3个连续自然数的立方和能被9整除 用数学归纳法作
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3个连续自然数的立方和能被9整除 用数学归纳法作
3个连续自然数的立方和能被9整除 用数学归纳法作

3个连续自然数的立方和能被9整除 用数学归纳法作
用数学归纳法n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,n=1,1^3+2^3+3^3=90,能被9整除.
如果对任意的n,n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,下面考虑n+1时的情况,
(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3
=(n^3+3n^2+3n+1)+(n+2)^3+((n+1)^3+6(n+1)^2+12(n+1)+8)
=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3+6(n+1)^2+12(n+1)+3n^2+3n+9
=(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3)+6(n+1)^2+12(n+1)+3n(n+1)+9
=(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3)+9(n+1)(n+2)+9
由归纳法假设可知上式右边第1个括号内的项之和能被9整除,第2,3项含有9的因子,故(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3也能被9整除,完成了归纳法证明

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