关于x的方程ax²-(a²+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 20:38:36
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关于x的方程ax²-(a²+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件
关于x的方程ax²-(a²+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件
关于x的方程ax²-(a²+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件
答:
ax²-(a²+a+1)x+a+1=0
(ax-1)[x-(a+1)]=0
x1=1/a,x2=a+1
当a=0时:-x+1=0,x=1符合要求;
当a>0时,x1=1/a>0,x2=a+1>0,符合要求;
当a-1,符合要求.
综上所述,当a>-1时,方程至少有一个正根.
反推a>-1时,方程至少有一个正根也成立.
因此,充要条件是a>-1
有解则(a²+a+1)²-4a(a+1)>=0
(a²+a+1)²-4(a²+a)>=0
设x=a²+a
则(x+1)²-4x>=0
(x-1)²>=0
(a²+a-1)为实数
若a=0时,方程化为-x+1=0,x=1,符合题意;
若a<>0时,方程可化为(ax-1)(x-a-1)=0,则x=1/a,或x=a+1.若两根都为负时,有
a<0且x<-1,即x<-1,由此,若两根至少有一个为正,则a>-1且a<>0.
综上, 方程至少有一个正根的充要条件是 a>-1 。