已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F,过F作直线与椭圆相交于A、B两点,若有|BF|=2|AF|,求椭圆离心率的范围。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 14:59:58
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F,过F作直线与椭圆相交于A、B两点,若有|BF|=2|AF|,求椭圆离心率的范围。
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F,过F作直线与椭圆相交于A、B两点,若有|BF|=2|AF|,求椭圆离心率的范围。
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F,过F作直线与椭圆相交于A、B两点,若有|BF|=2|AF|,求椭圆离心率的范围。
该题有个很简单的方法
当直线AB绕F转动的时候,A离右准线越近,那么B离右准线越远
即AF越小,BF越大
∴AF最小时,BF/AF最大
反之AF最大时,BF/AF最小
AF最小时即A离右准线最近,即A是右顶点时,BF/AF取最大值
反之A是左顶点时,BF/AF取最小值
∴(a-c)/(a+c)
易知,点A在上,点B在下。设A(x1,y1),B(x2,y2).(一)由A,B两点分别向x轴作垂线。由相似三角形可知,2(x1-c)=c-x2.===>2x1+x2=3c.(二)再由椭圆第二定义可知,|AF|=e[(a²/c)-x1],|BF|=e[(a²/c)-x2].两式相除,整理可得2x1-x2=a²/c.∴两式相加4x1=3c+(a²/c).易知,x...
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易知,点A在上,点B在下。设A(x1,y1),B(x2,y2).(一)由A,B两点分别向x轴作垂线。由相似三角形可知,2(x1-c)=c-x2.===>2x1+x2=3c.(二)再由椭圆第二定义可知,|AF|=e[(a²/c)-x1],|BF|=e[(a²/c)-x2].两式相除,整理可得2x1-x2=a²/c.∴两式相加4x1=3c+(a²/c).易知,x1<a,∴3c+(a²/c)<4a.===>3c²+a²<4ac.===>3e²-4e+1<0.===>(e-1)(3e-1)<0.===>1/3<e<1.
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