雨滴下落速度

篇一：雨滴下落速度的讨论

编号 2009021236

毕 业 论 文

（ 09 届本科）

论文题目： 雨滴下落速度的讨论

学 院： 电气工程学院

专 业： 物理学

班 级： 09本科(2)班

作者姓名： 吴丽霞

指导教师： 郭立帅 职称：

完成日期： 2012 年 12 月 日

雨滴下落速度的讨论

(陇东学院 电气工程学院，甘肃 庆阳 745000)

吴丽霞 ， 郭立帅

摘 要：简单介绍雨滴的形成，运用流体力学相关知识，分析了雨滴下落所受的黏性阻力和压差阻力，考虑雨滴在空气中下落半径增加对雨滴速度的影响，得出了雨滴下落速度和雨滴半径的关系，对雨滴下落的收尾速度进行了一般的讨论。

关键词：雨滴;黏性阻力；压差阻力；雷诺数；收尾速度

Discussion of the raindrops falling speed

Wu Li-xia， Guo Li-shuai

(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China.)

Abstract: Brief rain formation, the use of the knowledge of fluid mechanics, analysis of viscous drag and pressure drag the raindrops whereabouts suffered consider raindrops in the air, the whereabouts of the impact of increasing the radius of raindrops speed, to draw raindrops falling speed and raindrops radius the general analysis of the relationship between the terminal velocity of raindrops whereabouts.

Key Words: Raindrops; Viscosity resistance; Pressure drag; Reynolds number; Terminal velocity.

引言

下雨是自然界常见的现象，如果将雨滴看作自由下落的质点，我们知道云层下表面距地面约2000米，由质点运动学的相关知识v?gt和h?12gt可知，从此高度下落到地面的雨滴2

速度可达200m/s，化为小时制为720km/h，此速度大约是F1赛车的两倍，从动量的角度分析，与一个质量为0.1g速度为130m/s的子弹产生的动量相当。这样的雨滴如果撞在人身上，后果不堪设想，但实际上，地表上的任何生命都没有被雨滴撞伤，这是因为雨滴下落时不仅受重力，还受空气浮力和阻力，并不是自由落体运动，在这三个力的作用下，才使得无论是毛毛细雨还是大雨滂沱，雨滴都不会因为速度太大而撞伤人畜。

大小不同的下落的快慢的不同，我们都知道大雨滴下落的快，小雨滴下落的慢，如果将雨滴看做质量不变的球体进行研究，不考虑雨滴质量增加对其速度影响，则雨滴下落最后将达到一个恒定不变的最大速度，称为收尾速度。然而，雨滴在下落过程中不断几首水汽尘埃等物质，质量将会不断增加，但由于下落过程中还存在摩擦升温等因素，造成蒸发现象，质

量也会减小。所以为了不是问题过于复杂，本文着重讨论质量不变的不同雨滴的下落速度。对于质量变化的雨滴只做浅易讨论质量增加的情况。

1. 雨滴的形成

雨是由“云”变来的，陆地和海洋表面的水蒸发变成水蒸气，水蒸气在高空遇冷便凝结成小水滴，这些小水滴都很小，直径只有0.0001~0.0002mm，它们又轻又小，被空气中的上升气流托在空中，就是这些小水滴在空中凝聚成了云，这些小水滴要变成雨滴降到地面，它们的体积大约要增大100多万倍，这些小水滴主要靠两个手段增大，一是凝结和凝华增大；二是靠云滴的碰撞增大。在雨滴形成初期，云滴主要不断吸收云体四周的水气使自己凝结和凝华，如果云体内的水气能源源不断得到供应和补充，使云滴表面处于过饱和状态，那么，这种凝结过程将会继续下去，使云滴不断增大，成为雨滴。但有时云内的水气含量有限，在同一块云里，水气往往供不应求，这样就不可能使每个云滴都增大为较大的云滴，所以，对于云体温度高于零摄氏度的暖云来说，云中就存在着大小不同的云滴，大云滴下落速度快，上升速度慢；小运滴下降速度慢，上升速度快，于是，由于大小云滴相对速度的差异，使得大云滴有机会与小云滴相撞，结果小云滴就合并到大云滴中去了，这样，大云滴不断的增加，又因为上升气流分布不均匀，大云滴可以多次在云中上下运动，再加上云内的湍流作用，大云滴增大的机会就会增加，于是大云滴越来越大，直到上升气流再也托不住时，便从云中下落，形成降雨。

雨滴在下落过程中区别于自由落体运动，是由于受到了空气阻力的作用。

2. 空气阻力的分类

由流体力学可知，雨滴在空气中下落，所受阻力有两种，分别是由摩擦引起的黏性阻力和由压差引起的压差阻力。

2.1 黏性阻力

雨滴在空气中相对于空气运动，雨滴表面附着一层空气，即附面层，附面层靠近雨滴的空气微团相对于雨滴静止，附面层外侧空气微团相对于雨滴有一定流速，造成雨滴表面附近的空气存在速度梯度，因而空气层之间有阻碍雨滴下落的摩擦力，叫做黏性阻力。

比较小的物体在黏性较大的流体中缓慢地运动，即雷诺数很小的情况下，该阻力是主要因素，著名的斯托克斯（G .G .Stokes，1819——1903）公式描述了球形物体受到的黏性阻力 F?6??r ；其中r为雨滴的半径，v为雨滴下落的速度，?为空气粘滞系数，该公式在雷诺数很小的情况才正确，即Re<1，Re是雷诺于1883年提出用来比较黏性流体流动状态的量

纲为1的量，其定义为Re??vL；?和?分别表示流体密度和黏度，v表示特征流速，L是?

与物体横截面相联系的特征长度。

2.2 压差阻力

雨滴表面处有附面层，远离附面层处气流受附面层影响小，流速快；，靠近附面层的气流流动缓慢，因而在雨滴的上方便因靠附面层的的空气未能及时赶到而留下空间，于是外层空气便回旋过来补充从而形成涡旋，雨滴上方涡旋产生，所以上方气压小于下方气压，压强差构成雨滴下落的阻力，叫压差阻力。

从本质上将，压差阻力有黏性阻力引起，但与G .G .Stokes公式描述的那类黏性阻力有不同机制，黏性阻力和压差阻力同时存在，但就涡旋产生后，黏性阻力不占重要地位。球形物体在流体中所受压差阻力为 F?1CD?sv2； （1） 2

其中?表示流体密度，s是物体与流体垂直方向的最大横截面积，CD为阻力系数，为无一量

3纲常数，随不同雷诺数取不同值，在0

CD

?24??0.4；当Re<1时，式中的第二、三项相比之下可以忽略，此时Re2412??(L?2r)代入（1）式即前面的G .G .Stokes公式。当103?Re?2?105时，Re?rvCD?

CD近似为常数0.4。

3. 雨滴下落的模型

据有关对雨滴的实测结果可知，最小雨滴的直径仅有0.04mm，普通雨滴的直径约为2mm，最大雨滴的直径为6mm，再大些的雨滴会由于不稳定而破裂为较小雨滴，在此，最大雨滴直径去4mm。在本文的讨论中，将雨滴的形状视为球体，且分为两类，一类在下落过程中虽然半径增加尺度但尺度任然极小，所受空气阻力始终以黏性阻力为主；一类半径较大，下落过程器上表面产生涡旋，所受空气阻力以压差阻力为主。

4. 雨滴下落速度的分类讨论

4.1 空气阻力以黏性阻力为主的雨滴下落情况

在无风的情况下，假设雨滴的质量的为m，雨滴在自身重力、浮力和黏性阻力的共同作

用下，垂直下落的运动方程为

式中，m?d(mv)?mg?m?g?6??rv （2） dt434?r?1，m???r3?2（下同），?1为水的密度，?2为空气的密度。 33

若不考虑雨滴在下落过程中因蒸发和碰撞所引起的质量变化，则（2）式可写为

dvdvm?6??rv?(m?m?)g?6??rv??(1?)g? （3） dtdtmm

其中v为雨滴在t时刻的绝对运动速度（假定雨滴运动中空气介质是静止的）；g为重力加速 m度，m?为空气质量。上式中令g??(1??m?)g?(1?2)g（下同），m?1

6??r6??r9???2，则（3）式可写为 3m?r?12r?13

dv?g??kv (4) dtk?

对上式取积分，并取初始条件v?0??0，可解得任一时刻雨滴下落的速度

v?t??

（4）式中，令g?1?e?kt? (5) ?kdv?0，可得雨滴下落的收尾速度 dt

??2??1??g2??1??2?gr2g???1? vm? （6） ??k9?

2r2?1

取?1?1.00?10kgm，?2?1.293kgm3；??17.1?10kgm?s；g?9.8s；代入（6）式得： 33?62

vm?2??1.00?103?1.293??9.8r2

9?17.1?10?6?1.272?108r2ms (7)

2r?2vm，将vm代入得因为G .G .Stokes公式适用的条件是Re?1，而Re??

2r?1.293kgm3?1.272?108r2s?4133r?0.36?10m。，雨滴半径Re??1.29?10r?1?617.1?10kgm?s

假设存在r?0.2?10m的极小雨滴，则代入（7）式得此雨滴的收尾速度?4

vm?1.272?108??0.2?10?4?ms?5.088?10?2s，如此小的速度雨滴几乎瞬间就能达2

篇二：雨滴下落的收尾速度

雨滴下落的收尾速度

自高空落下的雨滴如果以自由落体运动来算，则其到达地面时的速度可达说百米每秒，这对人类是十分危险的。但实际上，雨滴在空气中下落时不可能是自由落体，因为在下落过程中，它不仅受重力，还受空气阻力和浮力，并且阻力随速度增加而增加，到达一定速度后，重力便于阻力和浮力的合力相等，雨滴的速度则达到极大。此时的速度是不会太大的，因而雨滴达到地面是不会对人类产生较大危害的。在此，阻力起了关键作用。

由流体力学可知,物体在流体中通过时所受的流体粘滞力为F

?

12

?cdsv ,其中?2

为流体密度，s

为物体与流体垂直方向的最大横截面积，

c

d 叫做阻力系数，它与无量纲的流体雷诺数有关，

Re?

在0?

lv?

?

雷诺数，

l

?为流体的粘滞系数，为与物体横截面相联系的特征长度，v 为物体的速度。

Re?2?10

5

范围内有

c

d

?

24

R

?

241?

e

?0.4 ，对于球形物体，上边的s??r

e

2

，

l?2r当Re?1时，上式中的第二，三项可以忽略,

力与速度成正比，当

cd?

12?rv?

，则

F

r

?6rv??，Re接近零，阻

2

10

3

?Re?2?10

5

时，阻力系数接近0.4，

Fr?0.2rv?? ，即球所受阻

2

力与速度的平方成正比。下面分两种情况讨论雨滴在空气中的收尾速度。 ⒈设所受阻力与V成正比。

雨滴在重力﹑浮力﹑和阻力的共同作用下的运动方程为m

d

vt

?m?mg?6rv??⑴，或写成

?

(来自:WwW.smhaida.Com 海达 范文 网:雨滴下落速度)

*

?

d

vt

?g?kv ⑵，其中

*

g

*

???6r??9???1?空?g称为等效引力加速度。k?? 取初2??m2r水?水?

v?t??

始条

v?0??0

*

解方程⑵可的

g

k

*

?1?e?

?kt

写成级数形式

v?t??g

*211*23

t?kgt?gkt，当

26

k→0和g→g*时有

v?t??g?t? ,在此收尾速度为

v

T

g?

*$

k

?

2?

?

水

??

9?

?3

空

?gr

13

2

⑶

?6

，在

?1

⑶

?1

中，取

?

水

?1000kg?m

6

13

，

?

入

空

?1.293kg?m

e

?，

?17.1?10kg?m?s

，欲使

则

v

T

?127.19?10r

2

，再将

v

T

代

R

，有

Re?1.29?10Re?1，则必须是半径r?0.36?10

?4

m特小雨滴，如

取r=0.00002m计算，则收尾速度为0.05088米每秒，达到这个速度几乎是一瞬间的事，因由任意时刻的速度V=0.05088[1-exp（-192t)]米每秒，则当速度从零增到时所用时间为0.023s，这是很短的，因此可以说极

小雨滴都是以收尾速度下落的。然而，这么小的雨滴在短时间内是不可能从高空中下到地面的，必须长成大雨滴才能落下，以进一步说明斯托克斯方程只可用于微小现象。 ⒉阻力与V的平方成正比。

*

运动方程为d

在此收尾速度

vt

?

g

*

?

mv

?

2

⑷，其中

??0.2r

2

?

v

?，式⑷的解为v?t??vTtgh空

gv

t，

T

v

T

?

mgT

*

，将雨滴质量m和及g*代入可得

T

???

?水

?6.67?1?gr，与之相应的

???空?

5

Re?

2?rvT

空

?

?1.32?10

7

r

3

2

,欲使

10

3

?r?2?10

e

，必须使雨滴半径r>0.002m.以

r=0.0025m为例，可算得

v

T

?11.2m?s

?2

，达到该速度的时间约为3秒，雨滴以收尾速度从2000米高

空落到地面约需3分钟。由上我们可以看出以下几点 ⑴落下来的半径r>2mm的雨滴是实际存在的，也就是说较大的雨滴下落过程中所受阻力与V的平方成正比。⑵半径为0.25cm的雨滴落到地面的动量约为0.00071千克·米·秒，再考虑到风力的影响，收尾速度还要小些，加之水表面又有弹性，延缓了和人的作用，也使得作用力大大减小。

⑶上述结果更可用于冰雹，还因为冰的密度小于水的密度，其收尾速度还要小些，但冰雹表面坚硬，力的作用时间短，使得作用力较大，所以往往可以砸坏建筑物，击伤人畜，对人类危害很大。

052689 赵庆侧

篇三：《雨滴的收尾速度》

雨滴的收尾速度

平磊

昆山震川高级中学 江苏省昆山市215300

一、雨滴下落产生的困惑

从天空坠落的雨滴是否吸引过同学们的视线？当你伸出双手是否感受雨滴轻轻地落在你的手心？可是我们知道雨滴是从两千米的高空坠落的，如果以自由落体规律来计算，雨滴将以超过200m/s的速度到达地面，近似于子弹的速度，大约是F1塞车的两倍。这样我们不禁要思考，雨滴下落的规律究竟是如何？其最终的速度究竟是如何的？为什么人体可以承受人体的撞击？ 二、雨滴下落的受力分析与运动分析

我们将雨滴的下落简化为以下三种情景，并将雨滴做匀速运动时的最大速度称为雨滴的收尾速度。

1.无风，雨滴的质量m，且由静止下落，所受的阻力f?k?v，试分析：①雨滴的运动情况，并作出v?t图像。②雨滴的收尾速度。

解答：雨滴在竖直下落过程中受恒力mg和变力f?k?v的共同作用，由牛顿运动定律可知：a?

v0，所受的阻力f?k?v，试分析：①雨滴的运动情况，并作出v?t图像。②雨滴

的收尾速度。

解答：由于雨滴的所受合力与初速度并不在同一直线，雨滴的轨迹是一条曲线，对某一时刻的雨滴进行分析，将其速度和力分别分解到x、y两个方向，由牛顿运动定律

可

知

：

ax?

fxkvx

?mm

，

ay?

mg?fy

?

mg?kvy

f=kv m

mg ①：雨滴在竖直方向做加速度减小的加速运动。

②：加速度a等于零时，取得收尾速度v

mg?fmg?kv

?。

mm

①：由运动的独立性原理可知，在方向雨滴做加速度减小的加速运动，当fx?0时，vx?0。在y方向雨滴做加速度减小的加速运动,当fy?mg时雨滴开始做匀速运动。

mg?fmg?kvmmg

??0?vm? mmk

mg

评析：由vm?可知，在确定k相

ka?

同的情况下，雨滴的质量越大，收尾速度越大。在日常生活中我们可以观察：毛毛雨（直径大约在0.5mm）的收尾速度大概在2m/s，暴雨（直径大约在5mm

）的收尾

速度大概在8m/s。

２.无风，若雨滴在形成时具有水平初速度

ax?

fxkvxm

??0?vxm?0 mm

在y方向，当：

mg?fmg?kvymmg

??0?vym?mmk

mg

所以合速度vm?vym?，方向竖直向

kay?

下。

评析：雨滴达到收尾速度的时间大概在3秒左右，而总的下落时间大概在3分钟，所以在情景2中地面上观测者得到得结果就是雨滴似乎是竖直下落的。

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3．风速水平且恒为v0，雨滴的质量m，且由静止下落，所受的阻力f?k??v（?v为雨滴相对于空气的速度），试分析：雨滴的收尾速度?

ｍ Vm x=kΔvx y

解答：由于雨滴的所受合力与初速度并不在同一直线，雨滴的轨迹是一条曲线，

对某一时刻的雨滴进行分析，将其速度和力分别分解到x、y两个方向，由运动的独立性原理可知：

在x方向，由于加速

度

数据如下：

①利用表格中的数据，求出球形物体所受的空气阻力f与球的收尾速度v的关系。 ②表格中的数据，求出球形物体所受的空气阻力f与球的半径r的关系。

解①：由１、2两个小球的数据可知，在半

v12

?，所受v25

fmg2

空气阻力之比1?1?，得到结论：

f2m2g5

f与v成正比。

径相同的情况下，收尾速度

解②：由2、3两个小球的数据可知，在收尾速度相同的情况下，其半径之比空气阻力之比

r21?，r33

f1m2g1

得到结论阻??，

f2m3g9

2

fxk?vxk(v0?vx)??，所以雨滴mmm

做加速度减小的加速运动，当ax?0时，ax?

力f与球的半径r的平方成正比。

评析：由①、②中的结论，我们可以发

2

现阻力系数k中包含有r这样一个因素。在雨滴的实际下落过程中，雨滴的半径会有所增加，但是在不同的大气环境中，雨滴半

vxm?v0。 径的增量不尽相同，故而在之前的运动分析

y在方向，由于和受力分析中我们都没有考虑雨滴半径的mg?fymg?k?vymg?k(vy?0)变化。mg ?kvy

ay????mmmm

1、为了便于研究，我们将阻力简化为

，雨滴同样做加速度减小的加速运动，当

f?k??v，这函数一般在速度较小时使

mg

ay?0时，vym?用。若是速度较大可以使用f?k??v2。

k

根据矢量合成的原则，

222

vm?vxm?vym?v0?(

mg2

k

评析：雨滴在达到收尾速度之后，其轨迹为一条倾斜的直线，与竖直方向的夹角是一个定值（tg??

vymvxm

?

mg

），地面观察kv0

者可以看到雨滴倾斜的下落到地面。 三、对阻力系数k的简单探究 为了便于学生实验中采集数据，我们用小球代替雨滴，对阻力系数k进行简单的探究。

2、在下落过程中雨滴主要受到重力、压差阻力、粘滞阻力的作用。k值除了和雨滴的半径有关外，还与流体密度?等其他因素有关。

3、在实际观测中，雨滴的最大直径大概在5mm，其收尾速度大概在2m/s～8m/s，产生的冲击力仅在0.6N左右，如果考虑到风的作用和雨滴的表面弹性，这个作用力可能会更小一些，不会对暴露在地表的动、植物、建筑物产生破坏作用。

4、上述结论也适用于冰雹。冰的密度比水要小一些，冰雹的收尾速度会比雨滴更小，但由于冰雹表面坚硬，且作用时间较短，产生的冲击力会比较大，会对暴露在地表的动植物、建筑物产生一定的破坏作用。

第 2 页

篇四：雨滴下落

一． 问题

从一片不动的云朵中落下一个雨滴，考虑如何确定其速率问题

二． 问题分析

考虑雨滴在下落过程中体积变化微小且雨滴尺度极小，因而雨滴的质量不改变，此时雨滴所受空气阻力以粘性阻力为主。在该过程中影响雨滴下落速度的变量为雨滴半径，重力加速度，雨滴密度和空气粘滞系数。考虑运用Buckingham 定理确定雨滴的收尾速度。

三． 假设

1. 雨滴下落过程中为球形，且形状，密度，质量等物理性质不发生改变； 2. 云层高度足够大，保证雨滴最后做匀速直线运动；

3. 雨滴下落过程中空气密度，粘度和温度等物理性质不发生改变； 4. 雨滴下落过程中没有大气流动； 四． 符号说明

五． 建立模型

决定雨滴下落速度的各物理量的量纲分别为：

设

，有

由

得一个五个未知数的线性方程组

不难验证，这个方程组的系数矩阵的秩为3，因此方程组的解空间是2维，因此可解得方程组的两个基本解：

于是与这五个参数有关的两个无量纲乘积分别为

雨滴下落的速度变化规律为

，即

。关于第一个变量可解得

。

六． 参数估计

七． 模型的进一步讨论和分析

在流体力学中，运用常微分方程分析雨滴的下落过程，结合斯托克斯公式

可以求得，当不考虑水滴半径增加时，

但在本问题的讨论中，雨滴半径需要满足斯托克斯公式的适用条件，即雨滴

落至地面的半径必须满足

。但在实际情况中，半径小于

的雨滴是不可能存在的。因此，本模型的构造具有一定的局限

性，还有待改善。

经计算得

八． 结论

九． 模型的进一步讨论和分析

由

得一个五个未知数的线性方程

不难验证，这个方程组的系数矩阵的秩为2，因此方程组的解空间是2维。因此可解得方程组的两个基本解：

于是与这四个参数有关的两个无量纲乘积为

雨滴下落的速度变化规律为

篇五：雨滴下落模型

雨滴下落模型

每当下雨而人们又忘记带雨伞时，大家脑海中总会思考起这样一个问题：淋雨时走得快一些淋雨少一些还是走得慢一些淋雨少一些呢？认为走得快的淋雨少的人说走得快那么用时少，从正上方降落到头上的雨滴就少，认为走得慢的淋雨少的人说走的快人正前方淋到的雨就多，那么到底怎样才能淋雨少呢？现在我们建立一个数学模型来研究一下这个问题。

设出参数：人相对于垂直下落的雨滴的前进速度v（包含风对雨滴速度的影响v=v人对地+v风）

把人设定为一个长（人的前后距离，也即是厚）为a宽（左右）为b高为h的长方体

人的行走距离s

雨滴的降落速度k（2-9m/s)

每立方米包含的雨量为n

单位均为国际单位

则行走距离s后淋雨量为M=bh*s*n+ab*s/v*k*n

从公式可以看出正前方淋到的雨量与行走距离成正比例关系，而正上方淋雨量与速度成反比,因此应该以更快的速度前进；

同时我们来比较一下正上方雨量和正前方雨量的关系(bh*s*n)/(ab*s/v*k*n)=hv/ak,人的身高按照1.8米计，厚度按照0.15米计则hv/ak=12v/k,大雨暴雨时的雨滴降落速度按照9m/s计，那么hv/ak=4v/3,也就是说当人的速度大于0.75m/s时，正上方的雨量都比

正前方的雨量多，当人的速度达到9m/s时，正上方的雨量是正前方雨量的12倍

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