作业帮狗追兔子视频雪地
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/02 19:16:53 字数作文
篇一：狗追兔子的问题
狗追兔子的问题
摘要
技术科学中往往遇到大量的微分方程就是联系着自变量，未知函数以及他的导数的关系式。在自然科学和微分方程问题。通过对高级微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型。在模型的求解过程中应用数学软件等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。
关键词
微分方程 数学建模猎狗追兔
问题的提出
现有一只兔子，一只猎狗，兔子位于猎狗的正西100米处。假设兔子与猎狗同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而猎狗在追兔子，已知兔子、猎狗是匀速跑且猎狗的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全逃回到巢穴？
问题的假设
建立平面直角坐标系，取兔子跑时的坐标为原点（0，0），兔子位于狗的正西100米处，从而取狗的坐标为（100，0）。取任意时刻兔子的坐标为（a,b），狗的坐标为（c,d）。
模型的分析与建立
我们可以在任意时刻用Q表示兔子的坐标点，用P表示狗的坐标点。兔子的运动轨迹为直线，狗的运动轨迹为一条曲线，此曲线可看做由一些向量构成的折线。。
狗和兔子的运动轨迹如下图
变量说明
v1：兔子的速度
v1 v2：狗的速度，且v2?2
t：狗追击兔子的时间
s1：在时刻t，兔子跑过的路程，s1?s1(t)
s2：在时刻t，狗跑过的路程，s2?s2(t)
Q(x1,y1)：表示在时刻t时，兔子的坐标 P(x,y)：表示在时刻t时，狗的坐标 模型假设
狗追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P(x,y)的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为y?y(x)。
模型建立
由于狗始终朝向兔子，则在狗所在位置P(x,y)点过狗的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为y1。
设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为
Y?y?y?(X?x)
令X＝0，则截距Y?y?y?x。
此时y1?v1t。
则此时截距等于兔子所跑过的路程，则：Y?y1， 所以：Y?y1?y?y?x
?y1?v1t 在t时刻，兔子跑过的路程为s1
由于狗的速度是兔子的2倍，则狗跑的路程为s2则： ?rs1?ry1 s2??100
x?y?2dx 所以可得：?100
x?y?2dx?ry1?r(y?y?x) 对其两边求对x的导，化简得
此微分方程的初始条件为：?y?2y???rx yx?100?0y?x?100?0
要判定狗是否追上兔子， 可以通过微分方程来判定。 当x＝0，如果计算求解得到y?60，则视为没有追上； 当x＝0，如果计算求解得到y?60，则视为兔子被追上； 模型求解
程序设计：
#include
{
double Y[10000],X[10000],y[10000],T=0.01,v=10,sinA,cosA;y[0]=0;Y[0]=0;X[0]=100; for(int i=0;;i++)
运行结果：
通过上面运行结果可知，狗没有追上兔子。
篇二：数学建模 猎狗追兔子问题
数学建模论文
《数学建模》(2014
春)课程期末论文
摘要
（一） 对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通
过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。
猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例
子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。
（二） 对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。
关键词
微分方程 导数的几?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我庖?猎狗追兔子 数学建模 数学软件
一、问题重述
如图1所示，有一只猎狗在B点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方O处，
此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向，距离为150m的洞口A全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。
请回答下面的问题：
⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ ⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程 是少？
⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的
距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半， 而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下回答前面两个问题。
二、问题分析与假设
在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标
系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。
1.假设兔子的运动是?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyurenzuowen/" target="_blank" class="keylink">人俚摹?/p>
2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。 3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。 4.猎狗运动时总是朝向兔子。
三、模型的建立及求解
3.1 符号规定
1.（x，y）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。 2. t：从开始到问题结束经过的时间。 3. a:猎狗奔跑的路程。 4. v:猎狗的奔跑速度。 3.2 模型一的建立与求解
猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹在OA要有交点
以OA为y轴，以OB为x轴建立坐标系，则由图有
N
O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0W 点,而猎狗初始位置是B点，t（s）后猎狗到达了C（x，y），而兔子到达了D（0，8t），则有CD的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有
：
dyy?8t
?dxx
da
?
vdt
da?三式联立消去t，得到;
d2y8x2?dxv设：
8q?
v
若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解，设：
dyd2ydp
??p2
dx dx dx
得到：
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?qx得到：
dp
p(250?)
xq
p??()
250
250q
p???()
x
两式联立相加得到：
dy1xq250q
?[()?()]dx2250x
1.如果q=1即v=8 m/s 得到
y(250)?0
x?0,y?? 所以此情况无交点，所以v=8m/s猎狗无法追上兔子； 2.如果q<1即v>8m/s 得到
1x2?250xy?[?250ln()]2500250
250q
1?q2 此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要y<=150;
v??8q??1
解得到：
即
/s
所以这种情况下能够追上的最小速度是
. x?0,y?
3.如果q>1 利用上式得到x?0,y??，所以这种情况不能追上兔子。
2501xq1250q?12q
y?[()?()?2]2q?12501?qx1?q
3.3 模型二的建立与求解
如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点，此时兔子的路
y?
程
5qy5q
t??
1?q2，所用放的时间88(1?q2)，那么猎狗的的路程a=tv;
带入数值解得
3.4 模型三的建立与求解
篇三：狗追兔子问题
理论力学课程小论文
狗追兔子问题
2011011576 力1 陈梓钧
目标：1找到简化条件，使得狗的轨迹方程有解析解；
2 寻找在简化条件下，狗一定能抓住兔子的“抓获区域”； 3 研究当狗在“抓获区域”内时，兔子的规避动作；
4 讨论狗有提前量的条件下，问题能否求解，并寻找最佳提前量。
一、 在简化模型下寻找狗轨迹方程的解析解
简化假设：以兔子的起点为原点，兔子与窝的连线为y轴建立坐标系，窝的位置为（0,1）。兔子与狗均全速奔跑，速度分别为a与b，a dydx 为狗满足的微分积分方程组 xdy x0 1+ dx (?dx)=bt (2) 化简得 =? at?yx (1) dyaxdy2 x=y?y0+ 1+ dx x0两边求导得 d2ydx2 1 c11+y0 a dy =b 1+ dx（3） aa 通过变量代换，解此微分方程，可得 y=2 x 1+ ? c1?11? ax 1? +c2 (4) x0 1? aax0 =2 c1x0?c1 c11+ 1 ?1 y0=2 1 x0 1+ a? c1?11? x0 +c2 (5) 其中（x0,y0）为狗的起始位置。求解的步骤在附页中。 实例：令（x0,y0）=（1,0）用MATLAB的ode45命令， 得到曲线如图1。其中绿色线为ode45所解 出的数值解，蓝色线为（4）得到的解析解。 图1 图2 分别令a/b=1/3(红),1/2(绿),1/1.5(蓝)得到图2 令（x0,y0）=(1,1)，(0,1.5)，(-0.3,0.7)，a/b=1/2 可得如图3所示各曲线。 图3 二、 寻找一定能抓住兔子的范围 在（一）的假设下考虑。临界情况为狗在洞口抓住兔子，所以不妨反向考虑，设兔子和狗从洞口夹θ角同时出发，仍满足速度约束条件。 dydx 方程组变为： xdy 0 1+ dxdx=bt (7)同样可以解出： dydx =? 1?y ?at x (6) =2[c1x?c1 1 ab ?1?b x] ( 8 ) a 刚出发时x=0： limx→0+dx∞ 故θ=0，狗一定沿y轴抓住兔子。 将（7）更换为等价条件： dt + dt =b2( 9 ) 由于 dx? ==b[] dx2 dy2 dy dy? ==b[ 设f t = at?1+y , 结合(9)可得： ????dx????d at?1+y ???? =+ ′ 1dx2dy2???? = + +??=b+ 两边对t积分得 ?????? 令t=0,x=0,y=1,可得c=? ???? ?? =bt+??+?? 化简得（具体步骤见附页）： ??2??2???2 + (???1)2??2 =?? 2 (10) 这是一个随时间反演不断扩大的椭圆，中心是洞，兔子在椭圆焦点出发，狗若在椭圆内，则可以追上兔子。如图4所示。 图5 图4 进一步讨论：当狗位于“捕获区间”内，如果兔子跑折线，能否逃脱追捕？ 根据MATLAB的数值模拟结果，在某些情况下的确可以逃脱追捕。 不妨作进一步简化，假设兔子只能在途中折转一次，折转不需要时间。如图5，随着兔子跑动，临界椭圆一边偏转，一边收缩，可能可以让狗离开椭圆内部。临界情况如图6，由于轨迹方程已知，狗的坐标x(t),y(t)已知，而动椭圆方程也是关于t的单值函数。 参数方程具体的解法见附页。（a=1，b=2） 3(?????) 3(?????2)23 ?????2 3(?????2)22?6?6 xt= ?+(+??1 + ??()+??1 1111 1 12 ??1 3(?????2)3(?????2)23 ?????2 3(?????2)2 ?6?6 ?? ?? = ?+ ()+??1 + ?? (+??1 1111 ? 13(?????2)3(?????2)23 ?????2 3(?????2)2 { ?+ (+??1?6 + ?? ()+??1?6 } 11111 1 3 13 13 13 3 作坐标变换 ???????? ???????????= ?? ?????????? ?????????? 其中θ(t)为椭圆的转角,可以把斜椭圆?0 ??,?? =??2 化为x-y平面上的椭圆φ0 ??,?? =??0(??) ??=?? ?? ??=?? ?? 联立 φ0 ??,?? =??0 ?? 消去x,y后得到的是关于t的方程，当系数条件满足有 实根时可得t0>0。于是，只要兔子在此处折转朝向洞口跑， 即可逃脱（但并不是最安全的方案）。 ??0=??(????)由此确定了折转点 ??0=??(????) 由有唯一实根时所满足的系数条件，可得到一个关于c1,c2和初始偏转角Ψ的方程H(c1,c2，Ψ)=0，再令此方程关于Ψ有唯一解，可得另一个仅关于c1,c2的方程。由于c1,c2是初始条件X0,y0的函数，可得到狗的临界区间φ1 ??,?? =??1(??)。这是解析解。 以上过程称为第一次迭代。 图 6 图7 用FORTRAN计算得φ1 ??,?? =??1(??)如图7中内部边界（似乎是个8边形），意义为： 在该边界内，即便兔子折转1次，也不能逃脱追捕；而在两边界之间，不折转就必被追上，若折转1次则可能逃脱追捕。 如图8，在u-v系内，在上面折转一次也必被抓住的情况下，狗必然落在椭圆内（以下称椭圆为C0, 零级边界；依次可定义C1，一级边界）。如此，在倾转角度后，图形的形态和??=??(??)第一次迭代完全相同。写出u-v坐标系下的狗的轨迹参数方程 和φ1 ??,?? =??1(??)， ??=??(??)??1=??(??1) 。用坐标逆变换可以返回 ??1=??(??1) 联立之，解出t1，可以得到第二转折点 ??1=??(??1) ??1=??(??1) 以上过程称为第二次迭代。 注意到第1、2次迭代的方程已经不是二次方程，故不能用判别式确定临界区间的边界。FORTRAN中用蒙特卡洛法粗略确定边界如上图所示，具体程序代码见附件。 在上述两步中，理论上已经可以确定了两个转折点的坐标。如果图8中狗还落在边界C1内，那么兔子即便转折2次也不能逃脱追捕。 继续以上迭代过程，得到φ?? ??,?? =????(??) (n=1,2,3….)和逃脱边界Cn，如图9。 这个函数列不能收敛于线段。首先，曲线必然包括兔子和兔子洞在内，所以若收敛，则必收敛于线段，那么狗在全平面上任何一点都不可追上兔子，这和实际情况矛盾。 lim??→∞φ?? ??,?? =c(t) 如果该极限存在，则可确定一个区域，在此区域外，兔子一定能通过跑某种模式的折线逃脱追捕。（由于以上条件都不是最优解，在区域内未必不能逃脱追捕） 篇四：MATLAB实验报告(猎狗追兔子的问题) MATLAB实验报告 电气14班 张程 2110401120 2012年4月12日星期四 一．实验目的 1.学会用MATLAB软件求解微分方程的初值问题。 2.学会根据实际问题建立简单微分方程数学模型。 3.了解级计算机数据仿真、数据模拟的基本方法。 二．实验题目 有一只猎狗在B处发现了一只兔子在 正东北方距离它200米的地方O处，此 时兔子开始以8米每秒的速度向正西北 方向距离为120米的洞口A全速跑去， 假设猎狗在追赶兔子时始终朝着兔子 的方向全速奔跑。 （1） 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ （2） 选取猎狗的速度分别为15、18米每秒，计算猎狗追 上兔子是所跑过的路程和所用的时间。 （3） 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 三．实验过程 （1 ）将所有路径转化入第一象限，从而转化为教材中缉私 艇和走私船的问题。 兔子起始位置为（0，0），奔跑方向为 始位置为（200，0）。 兔子刚好被追上时跑的距离Y=CR/1-R2。（R为兔子与猎狗速度之比） 时间T=CR/A(1-R2)=BC/(B2-A2)。 当兔子进洞的时候刚好被追到，这种情况下猎狗所需速度最小。将C=200,Y=120带入方程并利用 MATLAB求解： Y轴正方向，猎狗起 所以最小速度为17.08m/s。 (2)程序如下： 运行结果：t =18.2000s =273.0000 将程序中b改为18运行结果为：t =13.6000s =244.8000 兔子跑过距离分别为145.6000、108.8000，所以第一次兔子已经进洞，猎狗追不上。 （3） 下图分别为猎狗速度为18m/s、15m/s时的模拟图。 篇五：数学实验分析--猎狗追兔子 西安交通大学实验报告 课程_ 数学实验MATLAB _ 实验名称__猎狗追兔子___ 一． 实验题目 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 (4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于害 怕,奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴奋奔跑的速度每秒增加0.1倍，在这种情况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。 二． 问题的分析 1.问题(1)~（3）可以通过看做一个整体的问题，结果可通过一次程序运行得到，为此要使用MATLAB动态仿真法进行实验。 显然可以将事件坐标转换到第一象限内，设兔子初始位置O为（0，0）,运动方向为沿x轴正方向，速度为a。洞口A坐标为(0,120)。猎狗初始位置B为（200,0），运动速度为b。 时兔子坐标为（0,tzy）,猎狗坐标为（lgx,lgy）。 追赶的方向可以用方向余弦表示： , , 取时间步长为Δt，则在时刻t+Δt时，猎狗位置可表示为 ， 。 仿真算法： 第一步：设置时间步长为Δt，速度a,b，猎狗跑过的路程s初始化为0,初始位置； 第二步： 由( 猎狗与兔子的位置坐标计算二者 在)和（ ）: 时的坐标 ， ， ， ， 并在图中标出改点。 。 第三步：计算猎狗与兔子之间的距离 ， 如果小于事先设定的距离（就是认为猎狗追上兔子之间的距离），则退出循环， 否则让时间产生一个步长，返回第二步继续进行下一次循环。 第四步：当循环成功退出后， 为兔子被捉时跑过的距离，通过改变猎狗的 为猎狗跑 速度b使其等于120，此时的b即为猎狗能追上兔子的最小速度， 过的路程，由第二步中所标出的点构成的图即为够追兔子奔跑的曲线图。 2.问题（4 ）的分析过程与前三问类似，只需在第三步中增加一个对 的判 断， 当小于等于30米时，Δt每增加一秒分别对a、b进行一次修正，即a=a/2， b=1.1*b。 三．程序设计的流程 1.取时间步长为0.1，当猎狗与兔子相距小于等于0.3米时视为追上。 问题（1）~（3）的程序（此为对猎狗速度b进行多次修正后的程序）： a=8; b=17; d=0.3; dt=0.1; t=0; s=0; lgx=200;lgy=0; tzx=0;tzy=0; hold on axis([0,200,0,150]) title('猎狗追兔子') text(0,120,'洞口A') text(200,0,'B') text(0,0,'O') while (sqrt((lgx-tzx)^2+(lgy-tzy)^2)>d) t=t+dt; lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt(lgx^2+(a*t-lgy)^2); lgy=lgy+b*dt*(a*t-lgy)/sqrt(lgx^2+(a*t-lgy)^2); tzy=a*t; s=s+b*dt; plot(lgx,lgy,'m*',tzx,tzy,'c*') pause(0.1) end gtext('猎狗') gtext('兔子') lgx,lgy,tzx,tzy,t,s 2．问题（4）的程序（此为对猎狗速度b进行多次修正后的程序）; a=8; b=15.4; dt=0.1;t=0; s=0; D=30;d=1; e=0; lgx=200;lgy=0;tzx=0;tzy=0; hold on axis([0,200,0,130]) title('猎狗追兔子') text(0,120,'洞口A') text(200,0,'B') text(0,0,'O') while (sqrt((lgx-tzx)^2+(lgy-tzy)^2)>d) if(sqrt((lgx-tzx)^2+(lgy-tzy)^2)>D) t=t+dt; lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt(lgx^2+(a*t-lgy)^2); lgy=lgy+b*dt*(a*t-lgy)/sqrt(lgx^2+(a*t-lgy)^2); tzy=tzy+a*dt; plot(lgx,lgy,'r*',tzx,tzy,'b*') pause(0.1) else t=t+dt; if(e==0||e==1) a=a/2; b=1.1*b; e=0; end e=e+dt; lgx=lgx-b*dt*lgx/sqrt(lgx^2+(tzy+a*dt-lgy)^2); lgy=lgy+b*dt*(tzy+a*dt-lgy)/sqrt(lgx^2+(tzy+a*dt-lgy)^2); tzy=tzy+a*dt; plot(lgx,lgy,'r+',tzx,tzy,'b+') pause(0.1) end s=s+b*dt; end gtext('猎狗') gtext('兔子') lgx,lgy,tzx,tzy,t,s 四．上机实验的结果与结论 1.问题（1）~（3）： lgx =0.0110 lgy =118.9382 tzx = 0 tzy =119.2000 t =14.9000