二元函数积分的应用题一个气球的体积被定义为 V = (e^-h)/(1+t^2), h(t)>0表示在t时间时气球的高度.证明当h>0的时候,体积在减少定义h=t(10-t),求出气球在最高点时体积的变化率.此时的气球是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 01:44:09
![二元函数积分的应用题一个气球的体积被定义为 V = (e^-h)/(1+t^2), h(t)>0表示在t时间时气球的高度.证明当h>0的时候,体积在减少定义h=t(10-t),求出气球在最高点时体积的变化率.此时的气球是](/uploads/image/z/10044282-66-2.jpg?t=%E4%BA%8C%E5%85%83%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E5%BA%94%E7%94%A8%E9%A2%98%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%B0%94%E7%90%83%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF%E8%A2%AB%E5%AE%9A%E4%B9%89%E4%B8%BA+V+%3D+%28e%5E-h%29%2F%281%2Bt%5E2%29%2C+h%28t%29%26gt%3B0%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%9C%A8t%E6%97%B6%E9%97%B4%E6%97%B6%E6%B0%94%E7%90%83%E7%9A%84%E9%AB%98%E5%BA%A6.%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%BD%93h%26gt%3B0%E7%9A%84%E6%97%B6%E5%80%99%2C%E4%BD%93%E7%A7%AF%E5%9C%A8%E5%87%8F%E5%B0%91%E5%AE%9A%E4%B9%89h%3Dt%2810-t%29%2C%E6%B1%82%E5%87%BA%E6%B0%94%E7%90%83%E5%9C%A8%E6%9C%80%E9%AB%98%E7%82%B9%E6%97%B6%E4%BD%93%E7%A7%AF%E7%9A%84%E5%8F%98%E5%8C%96%E7%8E%87.%E6%AD%A4%E6%97%B6%E7%9A%84%E6%B0%94%E7%90%83%E6%98%AF)
二元函数积分的应用题一个气球的体积被定义为 V = (e^-h)/(1+t^2), h(t)>0表示在t时间时气球的高度.证明当h>0的时候,体积在减少定义h=t(10-t),求出气球在最高点时体积的变化率.此时的气球是
二元函数积分的应用题
一个气球的体积被定义为 V = (e^-h)/(1+t^2), h(t)>0表示在t时间时气球的高度.
证明当h>0的时候,体积在减少
定义h=t(10-t),求出气球在最高点时体积的变化率.此时的气球是膨胀了还是收缩了.
1分钟后气球的体积是如何变化的.
二元函数积分的应用题一个气球的体积被定义为 V = (e^-h)/(1+t^2), h(t)>0表示在t时间时气球的高度.证明当h>0的时候,体积在减少定义h=t(10-t),求出气球在最高点时体积的变化率.此时的气球是
(1)V=[e^(-h)]/(1+t^2)=1/[e^h*(1+t^2)]
h>0时,e^(-h)为减函数,∴h增大,V减小
同时,1/(1+t^2)为减函数,∴t增大,V减小
∴ h>0时,体积随时间增大而减小
(2)h=t(10-t)=25-(t-5)^2
气球在最高点时,有
h'(t)=-2(t-5)=0,∴有 t=5,hmax=25
dV/dt=e^(-h)[-h'(1+t^2)-2t]/(1+t^2)^2
∵最高点时h'(t)=0
∴体积变化率
dV/dt=e^(-h)*(-2t)/(1+t^2)^2
=e^(-25)*(-2*5)/(1+5^2)^2
=-10/26^2*e^(-25)
∵h(0)=0,h(5)=25,h(1)=9
∴V(0)=1,V(5)=e^(-25)/(1+5^2)=e^(-25)/26
V(1)=e^(-9)/(1+1^2)=e^(-9)/2
易知V(5)
其实是一元的导数题目,第一题h看作不变,第二题把一个变元消去再求导即可