实数域负数没有对数,那么在复数域负数的对数如何定义的,复数有对数吗?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 02:55:23
实数域负数没有对数,那么在复数域负数的对数如何定义的,复数有对数吗?
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没错
复数域的对数有定义
先看复指数
根据欧拉公式（欧拉对复指数的定义；这个公式被誉为数学界中最美妙的公式之一）为：
e^(iA)=cosA+isinA(e为自然底数,即e约为2.71828...；A为实数；事实上A为虚数亦可,但会导致cosA中A为复数,研究它比较费时,在此不作讨论）
那么根据这个公式,任何复数都对应着一个对数（包括负数都有!不过0就没有）
转换方式如下：
对复数z(z不为0),考虑将它换算成三角形式z=r(cosA+isinA)
其中r为该复数的模长,r>0
那么我们对z取自然对数,就根据欧拉公式有
lnz=ln[r(cosA+isinA)]=lnr+ln(cosA+isinA)
=lnr+ln[e^(iA)]=lnr+iA
因此x=lnr+iA这就是z的自然对数

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