作业帮已知x,y属于R+,则使根号x+根号y恒成立的实数t的取值范围是_____则使根号x+根号y
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 10:28:34
已知x,y属于R+,则使根号x+根号y恒成立的实数t的取值范围是_____则使根号x+根号y
已知x,y属于R+,则使根号x+根号y恒成立的实数t的取值范围是_____
则使根号x+根号y
已知x,y属于R+,则使根号x+根号y恒成立的实数t的取值范围是_____则使根号x+根号y
√x+√y≤t√(x+y)恒成立等价于t≥(√x+√y)/√(x+y)恒成立,即t≥max{(√x+√y)/√(x+y)}
注意到[(√x+√y)/√(x+y)]²=(x+y+2√xy)/(x+y)=1+2√xy/(x+y)≤1+(x+y)/(x+y)=1+1=2
∴(√x+√y)/√(x+y)≤√2
且当x=y时(√x+√y)/√(x+y)=√2
于是max{(√x+√y)/√(x+y)}=√2
∴t≥√2,其取值范围为[√2,+∞)
根号x+根号y<=t根号(x+y)
t>=(√x+√y)^2/(x+y)=(x+y+2√xy)/(x+y)=1+2√xy/(x+y)
只需t^2>=1+2√xy/(x+y)的最大值。
令y=(2√xy)/(x+y)<=(2√xy)/（2√xy）=1（最大值为1）
所以t^2>=2,因为t>=0,所以t>＝√2
将
根号x+根号y<=t根号(x+y)
两边平方得
x+y+2( 根号xy）<=t²(x+y),即
2( 根号xy）<=（t²-1)*(x+y),
1<=（t²-1)*(x+y)/（2( 根号xy））
因为(x+y)/（2( 根号xy））＞=1
所以只要（t²-1)＞=1原不等式成立
即t...
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将
根号x+根号y<=t根号(x+y)
两边平方得
x+y+2( 根号xy）<=t²(x+y),即
2( 根号xy）<=（t²-1)*(x+y),
1<=（t²-1)*(x+y)/（2( 根号xy））
因为(x+y)/（2( 根号xy））＞=1
所以只要（t²-1)＞=1原不等式成立
即t²＞=2
因为t必须＞=0
所以t＞=根号2
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