函数f(x)的导函数f'(x)连续,且f(0)=0,f'(0)=a,记曲线y=f(x)与P(t,0)最近的点为Q(s,f(s)),求极限值lim s/t (t趋向于0时)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/03 01:13:47
函数f(x)的导函数f'(x)连续,且f(0)=0,f'(0)=a,记曲线y=f(x)与P(t,0)最近的点为Q(s,f(s)),求极限值lim s/t (t趋向于0时)
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函数f(x)的导函数f'(x)连续,且f(0)=0,f'(0)=a,记曲线y=f(x)与P(t,0)最近的点为Q(s,f(s)),求极限值lim s/t (t趋向于0时)
函数f(x)的导函数f'(x)连续,且f(0)=0,f'(0)=a,记曲线y=f(x)与P(t,0)最近的点为Q(s,f(s)),求极限值lim s/t (t趋向于0时)

函数f(x)的导函数f'(x)连续,且f(0)=0,f'(0)=a,记曲线y=f(x)与P(t,0)最近的点为Q(s,f(s)),求极限值lim s/t (t趋向于0时)
直观上正如楼上所说, 比较严格的说法如下.
首先, 由f(0) = 0, O(0,0)在曲线上.
而Q是曲线上到P最近的点, 有PQ ≤ PO = |t|.
于是|s-t| ≤ PQ ≤ |t|, 有|s| ≤ 2|t|.
当t趋于0时, s也趋于0.
(x,f(x))到P距离的平方为(x-t)²+f(x)².
在x = s处取得最小值, 故导数2(s-t)+2f(s)f'(s) = 0.
即t = s+f(s)f'(s), 也即t/s = 1+f(s)/s·f'(s).
由f(0) = 0, f(x)在0可导, 有lim{s → 0} f(s)/s = f'(0) = a.
又由f'(x)连续, 有lim{s → 0} f'(s) = f'(0) = a.
于是lim{t → 0} t/s = lim{s → 0} 1+f(s)/s·f'(s) = 1+a².
即得lim{t → 0} s/t = 1/(1+a²).

f在0附近可以近似看成y=ax。那么可以简单算出来是1/(1+a^2)

f(x)在 无穷区间上 有界且导函数连续,|f(x)-f'(x)| 已知函数f(x)的导函数f’(x)是一次函数,且x^2f'(x) - (2x - 1)f(x)=1,求函数f(x) 设函数f(x)在x=1连续,且f(x)/(x-1)的极限存在,求证f(x)在x=1可导. 若函数f(x)的图像是连续曲线,且f(0)>0,f(1)>0,f(2) 设函数f(x)具有连续的导数,且函数F(x)(解析式见图)在x=0处连续,求f'(0). y=f(x)在[0,1]上具有连续的导函数,且f(0)=f(1)=0,f(x)的平方的定积分为1,求x*f(x)*f'(x) 一条简单的函数连续和极限问题设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)>g(a),f(b) 一元函数积分设函数f(x)在[a,b]上具有连续的导函数 且 f(a)=f(b)=0? 若函数f(x)连续,且F(X)的导数等于f(x),求∫f(t+a)dt,其中积分上限是x,积分下限是0, 已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x) 已知函数f(x) g(x) 均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x) 函数F(X)的导数为f(x),f(x)不连续的例子是不是很特别很难找啊?高数 导数函数F(X)的导数为f(x),f(x)一般情况都连续吗?F（x）=|x|，其导函数f（x）在x=0处不连续 F（x）=|x| 貌似不可导？ 已知(f'(x)+x)ydx+f'(x)dy为某函数的全微分,其中f(x)具有二阶连续导数,且f()且f(0)=0,f'(0)=1求f(x) 函数 f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f'(x) 设函数f(x)在【0,1】连续,在其开区间可导,且f(0)f(1) 设函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x^2+2x*f‘(1),则f'(0)等于? 定义：若函数f(x)在闭区间[m,n]上是连续的单调函数,且f(m)(n) 是否存在这样的一个实函数f(x).f(x)单调递增,且f(x)在有理数的点不连续,在无理数的点连续.