如图,点A是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点.圆O的半径为1,求AP+BP的最小值?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/03 13:24:00
如图,点A是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点.圆O的半径为1,求AP+BP的最小值?
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如图,点A是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点.圆O的半径为1,求AP+BP的最小值?
如图,点A是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点.圆O的半径为1,求AP+BP的最小值?

如图,点A是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点.圆O的半径为1,求AP+BP的最小值?
过A作AC⊥MN交圆O于点C,连接PC,BC
∵MN是直径,AC是垂直于直径的一条弦
∴MN垂直平分AC
而P是MN上的点,根据中垂线的性质“中垂线上的点到线段两端的距离相等”,可知：
PA=PC
于是,原所求转化为：求PB+PC的最小值!
由于P是MN上的动点,由示意图可以做出以下讨论：
1°当P点不在线段BC上时,PB,PC,BC可构成△PBC,根据三角形“两边之和大于第三边”的性质,可得：
PB+PC>BC；
2°而当P,B,C三点共线(即P恰好是BC与MN的交点)时,有几何关系：PB+PC=BC成立
综合这两种情况,可得出：PB+PC≥BC
由此,得到PB+PC的最小值就是BC的长度这个结论!
下面求出BC的长：
连接OB,OC
∵A是半圆上的三等分点
由图可知：弧AN所对圆心角为：∠AON=180°/3=60°
而B又为弧AN的中点
∴弧BN所含圆心角为：∠BON=60°/2=30°
根据前方已证的MN垂直平分弦AC,可轻易得出：N为AC弧的中点
于是,弧CN=弧AN
弧CN所对圆心角等于弧AN所对圆心角,即,∠CON=∠AON=60°
故,∠BOC=∠BON+∠CON=90°
而圆O半径为1,有OB=OC=1
于是,△BOC为等腰直角三角形,易求得底边BC=√2 OB=√2
即,题目所求的AP+BP(即PB+PC)的最小值BC的长度为√2

首先要找到合适的点P
作点B关于直径MN的对称点B'点，连结AB'与MN的交点就是合适的点P
再连结OB'
根据点A是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，易证∠AOB'=90°
即△AOB'为直角三角形
OA=OB’=1
AP+BP=AB’=根号2

解:作A点关于MN的对称点A^点 连接A^B与MN交于P点 弧BN为十二分之一的圆O周长 角BON等于十二分之一的三百六十度为三十度。PA+PB=根号二

2楼3楼两位不觉得你们自己很无聊吗，一楼都很详细的做出来了，时间也比你们早多了，你们还在这里灌水有什么意义？我真是不明白了，灌水真的这么重要？？！！这是对楼主提问的一种不尊重，更是对率先做出正确回答者的不尊重！强烈呼吁管理员能把2，3楼这样的回答直接屏蔽，毫无意义！...

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2楼3楼两位不觉得你们自己很无聊吗，一楼都很详细的做出来了，时间也比你们早多了，你们还在这里灌水有什么意义？我真是不明白了，灌水真的这么重要？？！！这是对楼主提问的一种不尊重，更是对率先做出正确回答者的不尊重！强烈呼吁管理员能把2，3楼这样的回答直接屏蔽，毫无意义！

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如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是弧AN的中点P点是直径MN上一动点,圆0 的半径为1,求AP+BP的最小值. 如图,点A是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点.圆O的半径为1,求AP+BP的最小值? 如图,A点式半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值是多少? 如图,已知点A是半圆的一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一个动点,圆的半径为1,求AP+BP的最小值. a点是半圆上一个三等分点,b点是弧an的中点,p是直径mn上一动点,园o半径为1,则ap,点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一动点,圆O的半径为1,求AP+BP的最小值. A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P是直径MN上一动点,圆O的半径为1,则AP+BP 最小值是多少 一道关于圆的证明题点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一动点圆O的半径为1,求AP+BP的最小值 点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一动点,圆O的半径为1,求AP+BP的最小值.用初中的只是解决... 点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是直径MN上一动点,圆O的半径为1,求AP+BP的最小值. 已知点A是半圆上一个三等分点.B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,若圆O的半径为1,试求AP+BP的最小值 如图,A是半圆O的一个三等分点,B是弧AN的中点,P是半径ON上的动点,若ON=1,求AP+BP的最小值 如图,AB为半圆的直径,C、D为弧AB的三等分点,若半圆的半径为R,则阴影部分的面积是（）选择题如图,AB为半圆的直径,C、D为弧AB的三等分点,若半圆的半径为R,则阴影部分的面积是（）A、(πR^2)/12B 如图所示,点A是半圆上的三等分点,B是弧AN的中点,P是直径MN上一动点,圆心O的半径为 A为半圆上一个三等分点,B为中点,MN为直径,P为MN上一动点,在MN上求作一点,使PA＋PB的距离最短,并求PA＋PB的最小值. 如图,直径ab=4厘米,点C,D是这个半圆的三等分点,则弦ac,ad弧cd围成阴影部分面积是 如图,点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,弧CD的长是2/3 π,求图中阴影部分的面积 数学平面向量数量积选择题如图,AB是半圆O的直径,C、D是弧AB的三等分点,M、N是线段AB的三等分点,若OA=6,则向量MD·NC的值是（）A.2B.5C.26D.36 一道初三有关圆的几何题.如图,已知点A是半圆上的三等分点,B是弧AN的中点,P是直径MN上以动点,圆O的半径为1.问：P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.