椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6(1)求椭圆E的方程(2)若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N,圆C是以MN为直径的圆是否过定点
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 04:43:34
![椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6(1)求椭圆E的方程(2)若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N,圆C是以MN为直径的圆是否过定点](/uploads/image/z/10145648-56-8.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86E%3Ax%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%E8%BF%87%E7%82%B9P%283%2C1%29%E5%85%B6%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAF1F2%E4%B8%94%E5%90%91%E9%87%8FF1P%2A%E5%90%91%E9%87%8FF2P%3D-6%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86E%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5MN%E6%98%AF%E7%9B%B4%E7%BA%BFX%3D5%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%A4%E7%82%B9%E4%B8%94F1M%E2%8A%A5F2N%2C%E5%9C%86C%E6%98%AF%E4%BB%A5MN%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E7%9A%84%E5%9C%86%E6%98%AF%E5%90%A6%E8%BF%87%E5%AE%9A%E7%82%B9)
椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6(1)求椭圆E的方程(2)若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N,圆C是以MN为直径的圆是否过定点
椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6
(1)求椭圆E的方程
(2)若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N,圆C是以MN为直径的圆是否过定点
椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点P(3,1)其左右焦点分别为F1F2且向量F1P*向量F2P=-6(1)求椭圆E的方程(2)若MN是直线X=5上的两点且F1M⊥F2N,圆C是以MN为直径的圆是否过定点
1
F1(-c,0) F2(c,0)
向量F1P (3+c,1)
向量F2P (3-c,1)
F1P*F2P=(3+c)(3-c)+1=-6
10-c^2=-6
c^2=16
P(3,1)
2a=F1P+F2P=√[(3-4)^2+1]+√((3+4)^2+1)=6√2
a=3√2
a^2=18
b^2=2
x^2/18+y^2/2=1
2设F1M和F2N的交点为S
那么F1S垂直F2S
S在x^2+y^2=16圆上
S(4cosu,4sinu)
F1M直线:y=[4sinu/(4cosu+4)](x+4)
x=5,y=9sinu/(cosu+1)=9tan(u/2)
F2N直线:y=[4sinu/(4cosu-4)](x+4)
x=5,y=-9cot(u/2)
MN=9(tanu/2+cotu/2)=18/sinu
Cx=5,Cy=9(tanu/2-cotu/2)=-18cotu
(x-5)^2+(y+18cotu)^2=18^2/sinu^2
随着u的变化,MN和圆心C都在变化,因此圆C不会过定点
(1)设点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0),
则 F1P =(3+c,1), F2P =(3-c,1),
故 F1P • F2P =(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6,
解得c=4,
所以2a=|PF1|+|PF2|= (3+4)2+12 + (3-4)2+12 =6 2 ,
所以a=3 2 ,b2=a2-c2=1...
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(1)设点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0),
则 F1P =(3+c,1), F2P =(3-c,1),
故 F1P • F2P =(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6,
解得c=4,
所以2a=|PF1|+|PF2|= (3+4)2+12 + (3-4)2+12 =6 2 ,
所以a=3 2 ,b2=a2-c2=18-16=2,
所以椭圆E的方程为x2 18 +y2 2 =1.
(2)设M,N的坐标分别为(5,m),(5,n),则 F1M =(9,m), F2N =(1,n),
因为 F1M ⊥ F2N ,
所以 F1M • F2N =9+mn=0,即mn=-9,
又因为圆C的圆心为(5,m+n 2 ),半径为|m-n| 2 ,
所以圆C的方程为(x-5)2+(y-m+n 2 )2=(|m-n| 2 )2,
即(x-5)2+y2-(m+n)y+mn=0,即(x-5)2+y2-(m+n)y-9=0,
令y=0,可得x=8或2,
所以圆C必过定点(8,0)和(2,0).
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