证明不等式:其中(2n)!=2.4.6.8.(2n)!,(2n-1)!=1.3.5.7.(2n-1)!.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 16:01:40
证明不等式:其中(2n)!=2.4.6.8.(2n)!,(2n-1)!=1.3.5.7.(2n-1)!.
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证明不等式:其中(2n)!=2.4.6.8.(2n)!,(2n-1)!=1.3.5.7.(2n-1)!.
设﹙2n-1﹚!/﹙2n﹚!=﹛1×3×5×…﹙2n-1﹚﹜/﹛2×4×6×…×﹙2n﹚﹜=an
an=﹙1/2﹚×﹙3/4﹚×﹙5/6﹚…﹙2n-1﹚/2n<﹙2/3﹚×﹙4/5﹚…×(2n)/(2n+1﹚
=﹙1/an﹚×﹛1/﹙2n+1﹚﹜
∴an²<1/﹙2n+1﹚ an<1/√﹙2n+1﹚
an=﹙3/2﹚×﹙5/4﹚×…×﹙2n-1﹚/﹙2n-2﹚×1/﹙2n﹚>﹙4/3﹚×﹙6/5﹚×…×﹙2n﹚/﹙2n-1﹚×1/﹙2n﹚=﹙1/an﹚×﹙1/4n﹚
∴an²>1/4n an>1/2√n