求Heine Borel定理的详细证明,以及对紧集的理解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/25 16:58:52
求Heine Borel定理的详细证明,以及对紧集的理解
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求Heine Borel定理的详细证明,以及对紧集的理解
求Heine Borel定理的详细证明,以及对紧集的理解

求Heine Borel定理的详细证明,以及对紧集的理解
R^n中Heine-Borel定理,下面三个等价
1. 集合E是紧的
2. E任何无穷子集都有聚点在E内
3. E闭且有界
下面的推导,
要用到
a） R^n中中紧集是闭的这一性质
b） 紧集的闭子集是紧的
c） 只证E是无限集的情况,因为有限集是显然的
1.推2.
现在E是紧的,现在只需证明E的无穷点集有聚点就行.因为由闭性,可以知道这个聚点一定在E内.
现在对以E中的每一个点为心,1/2为径做开球,这一堆开球并起来,一起覆盖了E,那么有一个有限子覆盖.那有限个覆盖的开球中,一定有一个包含了无穷多个E中的点.把那个开球找出来,做闭包(取成对应的闭球),那交那个闭球交上E还是一个E中的闭子集,所以是紧的.
现在以 E交上那个球中的点为心,1/4为半径,做开球覆盖,和前面一样,可以找到一个更小的无穷紧子集.
再以上一轮找到的紧子集中的点为心,1/8为半径 .
. 做无限可数多次 利用R^n的完备性,就可以找到聚点.
后面的太长了,有问题直接百度HI我吧.打字累死我了

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