已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|^2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 11:19:46
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已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|^2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2
,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|^2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?
已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|^2/|PF2|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是?
PF1+PF2=2a
即y=PF1+PF12/8a≥2a,设双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点B(a,0)
易得:PF1=AF1=c-a时,y有最小值
∵对y,y取最小值时为PF1=-4a
∴PF1=AF1=c-a时存在;PF1+PF12/8a>2a
即:c-a+(c-a)2/8a>2a
解出即可
仅供参考
由定义知:|PF1|-|PF2|=2a,
|PF1|=2a+|PF2|
|PF1|^2/|PF2|=(2a+|PF2|)^2/|PF2|=4a^2/|PF2|+4a+|PF2|大于等于8a
当且仅当4a^2/|PF2|=|PF2|
即|PF2|=2a时取得等号
设P(x0,y0) (x0≤-a)
由焦半径公式得:
|PF2|=-ex0-a=2...
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由定义知:|PF1|-|PF2|=2a,
|PF1|=2a+|PF2|
|PF1|^2/|PF2|=(2a+|PF2|)^2/|PF2|=4a^2/|PF2|+4a+|PF2|大于等于8a
当且仅当4a^2/|PF2|=|PF2|
即|PF2|=2a时取得等号
设P(x0,y0) (x0≤-a)
由焦半径公式得:
|PF2|=-ex0-a=2a
ex0=-2a
e=-3a/x0≤3
又双曲线的离心率e>1
∴e∈(1,3]
纯手打的啊 不容易啊 采纳吧。
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