数学中的“矩阵”是什么?

数学中的“矩阵”是什么?
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数学中的“矩阵”是什么?
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英文名Matrix（矩阵）本意是子宫、母体、孕育生命的地方,同时,在数学名词中,矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础.
数学上,矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵.把用在解线性方程组上既方便,又直观.例如对于方程组.
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
来说,我们可以构成一个矩阵：
/ \
|a1 b1 c1 d1 |
| |
|a2 b2 c2 d2 |
| |
|a3 b3 c3 d3 |
\ /
因为这些数字是有规则地排列在一起,形状像矩形,所以数学家们称之为矩阵,通过矩阵的变化,就可以得出方程组的解来.
矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.
数学上,一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列.矩阵由数组成,或更一般的,由某环中元素组成.
矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析,以及组合数学等.请参考矩阵理论.
[编辑本段]矩阵图法的涵义
矩阵图法就是从多维问题的事件中,找出成对的因素,排列成矩阵图,然后根据矩阵图来分析问题,确定关键点的方法,它是一种通过多因素综合思考,探索问题的好方法. 在复杂的质量问题中,往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来,分别排列成行和列,其交点就是其相互关联的程度,在此基础上再找出存在的问题及问题的形态,从而找到解决问题的思路. 矩阵图的形式如图所示,A 为某一个因素群,a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素,将它们排列成行；B为另一个因素群,b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素,将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系.按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小,可以探索问题的所在和问题的形态,也可以从中得到解决问题的启示等. 质量管理中所使用的矩阵图,其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面,如生产过程中出现了不合格品时,着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系,为此,需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来,逐一分析具体现象与具体原因之间的关系,这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素. 矩阵图的最大优点在于,寻找对应元素的交点很方便,而且不遗漏,显示对应元素的关系也很清楚.矩阵图法还具有以下几个点： ①可用于分析成对的影响因素； ②因素之间的关系清晰明了,便于确定重点； ③便于与系统图结合使用. 二、矩阵图法的用途 矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中．常用矩阵图法解决以下问题： ①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应,并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点； ②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系,使质量保证体制更可靠； ③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系,力求强化质量评价体制或使之提高效率； ④当生产工序中存在多种不良现象,且它们具有若干个共同的原因时,希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系,进而把这些不良现象一举消除； ⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据. 三、矩阵图的类型 矩阵图法在应用上的一个重要特征,就是把应该分析的对象表示在适当的矩阵图上.因此,可以把若干种矩阵图进行分类,表示出他们的形状,按对象选择并灵活运用适当的矩阵图形.常见的矩阵图有以下几种： (1)L型矩阵图.是把一对现象用以矩阵的行和列排列的二元表的形式来表达的一种矩阵图,它适用于若干目的与手段的对应关系,或若干结果和原因之间的关系. (2)T型矩阵图.是A、B两因素的L型矩阵和A、c两因素的L型矩阵图的组合矩阵图,这种矩阵图可以用于分析质量问题中“不良现象一原因一工序”之间的关系,也可以用于分析探索材料新用途的“材料成分一特性一用途”之间酌关系等. (3)Y型矩阵图.是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与A因素三个L型矩阵图组合在一起而形成的矩阵图. (4) X型矩阵图.是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与D因素、D因素与A因素四个L型矩阵图组合而形成的矩阵图,这种矩阵图表示A和B、D,D和 A、C,C和B、D,D和A、C这四对因素间的相互关系,如“管理机能一管理项目一输入信息一输出信息”就属于这种类型. （5)C型矩阵图.是以A、B、C三因素为边做出的六面体,其特征是以A、B、c三因素所确定的三维空间上的点为“着眼点”. 四、制作矩阵图的步骤 制作矩阵图一般要遵循以下几个步骤： ①列出质量因素： ②把成对对因素排列成行和列,表示其对应关系； ③选择合适的矩阵图类型； ④在成对因素交点处表示其关系程度,一般凭经验进行定性判断,可分为三种：关系密切、关系较密切、关系一般（或可能有关系),并用不同符号表示； ⑤根据关系程度确定必须控制的重点因素； ⑥针对重点因素作对策表.
[编辑本段]历史
矩阵的研究历史悠久,拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.
作为解决线性方程的工具,矩阵也有不短的历史.1693年,微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年,加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年代,高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法.
1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼.
[编辑本段]定义和相关符号
以下是一个 4 × 3 矩阵：
某矩阵 A 的第 i 行第 j 列,或 i,j位,通常记为 A[i,j] 或 Ai,j.在上述例子中 A[2,3]=7.
在C语言中,亦以 A[j] 表达.(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外 A = (aij),意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j,常见于数学著作中.
一般环上构作的矩阵
给出一环 R,M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合.若 m=n,则通常记以 M(n,R).这些矩阵可加可乘 (请看下面),故 M(n,R) 本身是一个环,而此环与左 R 模 Rn 的自同态环同构.
若 R 可置换, 则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数.其上可以莱布尼茨公式定义 行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆.
在维基百科内,除特别指出,一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵.
分块矩阵
分块矩阵 是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”.举例,以下的矩阵
可分割成 4 个 2×2 的矩阵.
此法可用于简化运算,简化数学证明,以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等.
[编辑本段]特殊矩阵类别
对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称, 即是 ai,j=aj,i.
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i.
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对, 是 ai,j=ai+1,j+1.
随机矩阵所有列都是概率向量, 用于马尔可夫链.
[编辑本段]矩阵运算
给出 m×n 矩阵 A 和 B,可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵,等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j].举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵 A 及一数字 c,可定义标量积 cA,其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]. 例如
这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间,维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等,则可定义这两个矩阵的乘积.如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵,它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵,其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j.
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律").
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律").
要注意的是：可置换性不一定成立,即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA.
对其他特殊乘法,见矩阵乘法.
[编辑本段]其他性质
线性变换,秩,转置
矩阵是线性变换的便利表达法,皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）.对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn. 这矩阵 A "代表了" 线性变换 f. 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk,则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f.
矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩.矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数.
m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA）,即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j.若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子.转置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr,(AB)tr = BtrAtr.
[编辑本段]注记
矩阵可看成二阶张量, 因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广.
矩阵（设备）
矩阵是监控系统中的模拟设备,主要负责对前端视频源与控制线的切换控制,举个例子,如果你有70个摄像机,可是只有7台监视器,那么矩阵可以让你的任何一台监视器显示出任意组合的10个画面.简短地说,矩阵主机主要是配合电视墙使用,完成画面切换的功能.但是常见的矩阵一般输入（接摄像机）是16的倍数,输出（接监视器）是4的倍数；美国AD矩阵是视频切换矩阵的鼻祖,业界第一台视频切换矩阵就出自AD,到目前为止,市场上的模拟视频切换矩阵基本上还是参照AD矩阵的电路设计和架构.像深圳安星数字系统有限公司生产的视频切换矩阵,一块输入板也是16路输入,一块输出板是4路输出,采用和AD相同的架构,模块化设计,可自由方便的通过增加或减少矩阵板来实际不同的容量.
安星矩阵已经不只是单纯的切换图像那么简单了,还可以通过附件扩展设备来实现控制云台转动和镜头变焦,连接探头实现报警联动,增加网络模块来实现矩阵轻松多级远程互联,实现数模结合监控,真正做到不受时间,地点限制的安防自动化控制,成为监控系统中最核心设备!
[编辑本段]矩阵卡
矩阵卡是由深圳网域提出的一种保护个人帐号的系统,它是由一张表格组成,横排是A\BC\D等英文字母,在竖排是1.2.3等阿拉伯数字,在登录时必须通过矩阵卡的验证才可以进入游戏..

一种游戏