如何判断矩阵是否能够进行LU分解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/04 03:13:56
如何判断矩阵是否能够进行LU分解
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如何判断矩阵是否能够进行LU分解
如何判断矩阵是否能够进行LU分解

如何判断矩阵是否能够进行LU分解
定理:A可以进行LU分解的充要条件是A顺序主子式全不为0.
这个定理的证明涉及到高斯消去法.
我们知道高斯消去的三种消去
1对换:对换矩阵的两行2倍乘,将某行乘以常数3倍加:将矩阵某行乘以常数加到另一行.
对应三种初等矩阵.其中第二三个是下三角矩阵而第一个不是.
如果矩阵A可以经过不用对换的高斯变换化成既约矩阵(他是一个上三角矩阵),那么就能进行LU分解.什么情况高斯消去不用对换矩阵的两行呢?
打个比方A经过第一次高斯消去后使得除了a11外第一列其他元素都是0了,然后进行第二列的消去此时要满足新的a22不为零才能进行下去.否则就要将第二行和其他行对换.(此处看线性代数书上的Ax=b的解法那里)
因此没有对换的关键是"消去第i列"时的aii不为0.我们的定理要证明的就是"消去第i列时的aii不为零"这个条件与"A的顺序主子式不为零"等价
证明,用数学归纳法对矩阵的阶n进行归纳

当矩阵A的各阶顺序主子式都不为0时，LU分解唯一；
当矩阵A的的顺序主子式为0，但经过顺序高斯消去法矩阵可划为上三角（对角线上的元素可为0），可进行LU分解，但分解不唯一；（如[1 1 1 ；2 2 1；3 3 1]经高斯消去变为[1 1 1；0 0 -1；0 0 -2]）
当矩阵A的顺序主子式为0，经过顺序高斯消去法不可以划为上三角则不可进行LU分解；（如[1 2 3；2；2 ...

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当矩阵A的各阶顺序主子式都不为0时，LU分解唯一；
当矩阵A的的顺序主子式为0，但经过顺序高斯消去法矩阵可划为上三角（对角线上的元素可为0），可进行LU分解，但分解不唯一；（如[1 1 1 ；2 2 1；3 3 1]经高斯消去变为[1 1 1；0 0 -1；0 0 -2]）
当矩阵A的顺序主子式为0，经过顺序高斯消去法不可以划为上三角则不可进行LU分解；（如[1 2 3；2；2 4 1；4 6 7]，高斯消去后变为[1 2 3；0 0 -5；0 -2 -5]）

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如何判断矩阵是否能够进行LU分解 怎样判断一个矩阵能否直接进行LU分解以及分解是否唯一?希望能够给出例子,但是如果按照这个充要条件来判断的话那么下面这个矩阵是不能进行LU分解的。A=1 1 12 2 13 3 1但答案是可以分解但 对矩阵x进行QR分解和LU分解, 关于矩阵的LU分解矩阵只有唯一LU分解的条件?矩阵有LU分解的条件?矩阵没有LU分解的条件?分别是什么? MATLAB如何进行如下矩阵分解? 线性方程组ax=b其系数矩阵满足什么时,可对a进行LU分解（Doolittle分解） 数值分析题目 下述矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵）?若能分解,那么分解是否下述矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵）?若能分解,那么分解是 如何判断矩阵是否课对角化 如何判断一个矩阵是否行阶梯型矩阵? 如何判断一个矩阵是否为状态转移矩阵 如何判断初等矩阵如何判断一个矩阵是否是初等矩阵? 用MATLAB 怎样对矩阵的LU分解?急, 求矩阵LU分解的matlab代码.m文件欢迎! matlab中如何进行矩阵的特征分解? 如何判断反应是否自发进行? 矩阵的相似问题对一个矩阵A进行行列变换得到B,那么对一个同阶的E进行相同的行列变换会得到什么?如何判断两个不可对角化的矩阵是否相似? 线性代数,如何快速判断一个矩阵是否可逆 如何判断一个矩阵是否可对角化?