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1.已知△ABC为等边三角形,P为△内任意一点,AP=4,CP=2,BP=2根号3,求S△ABC 

如图,将△PAB绕点A逆时针旋转60°,得到△P'AC,连结P'B

则△P'AC≌△PAC,∴AP'＝AP＝4,CP'＝BP＝2√3,∠ACP'＝∠ABP,∠P'AC＝∠PAB

∵∠PAB＋∠PAC＝60°,∴∠P'AC＋∠PAC＝60°

∴∠PAP'＝60°,∴△APP'是等边三角形

∴PP'＝AP＝4,∠APP'＝60°

在△PCP'中,∵CP²＋CP'²＝2²＋(2√3)²＝16,PP'²＝4²＝16

∴CP²＋CP'²＝PP'²,∴△PCP'是直角三角形,∠PCP'＝90°

又PP'＝2CP,∴∠PP'C＝30°,∠CPP'＝60°

∴∠APC＝120°

∵∠PCP'＝90°,∴∠ACP＋∠ACP'＝90°

∴∠ABP＋∠ACP＝90°

又∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝60°,∠ACB＝∠ACP＋∠PCB＝60°

∴∠PBC＋∠PCB＝30°,∴∠BPC＝150°

∴∠APB＝90°,∴AB²＝AP²＋BP²＝4²＋(2√3)²＝28

∴S△ABC＝1/2×AB×√3/2AB＝√3/4AB²＝√3/4×28＝7√3 

2.http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac34598292e4888e0cf4d21b.jpg

（1）过点C作CD垂直于AB

因为等腰三角形ABC所以CD平分AB

AD=BD=2/6=3

三角形ACD为直角三角形,根据勾股定理得CD=4

三角形ABC的面积=AB*CD/2=12

（2）设AE为x

根据题意得AB^2+AE^2=BE^2

          AB^2+AE^2= (AD-AE)^2

          6^2+X^2=(8-X)^2

           解得x=7/4

三角形ABE的面积为8*7/4/2=7

三角形ABD的面积为8*6/2=24

三角形BED的面积为24-7=17 

3.http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6c81473af4f3bc3e1e38.jpg

根据三边长可以求得三角形的面积为12（海伦公式）

所以三角形ABC在AC上的高为24/5

所以MN＝12/5

附海伦公式

已知三角形三边a,b,c,则 （p=(a+b+c)/2）

  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 

  =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 

4.http://hiphotos.baidu.com/_%CE%D2%CA%C7%C6%F3%B6%EC/pic/item/7bbf26f23b4c57d20b46e036.jpg

作AH垂直于BC于H ,由于AB=AC,所以有BH=CH

有：AD^2＝DH^2＋AH^2 

AB^2＝BH^2+AH^2 

所以AD^2-AB^2＝DH^2-BH^2＝(DH+BH)*(DH-BH)＝（DH+CH)*BD＝BD*CD 

5.已知 ∠C=90°,M是AB中点 ,∠DME=90°

求证：DE²=AE²+BD²

图：http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8ad4b31c3e78c2b887d6b6c9.jpg

证明：从M点向BC作垂线,垂足是D'；从M点向AC作垂线,垂足是E'

三角形BMD'与三角形ME'A全等,所以BD'=ME',D'M=E'A

三角形DD'M与三角形EE'M相似,所以DD'/EE'=D'M/E'M

                              即DD'*E'M=EE'*D'M

                              即DD'*BD'=EE'*E'A

AE²+BD²=(AE'+EE')²+(BD'-DD')²

       =AE'²+EE'²+2AE'*EE'+BD'²+DD'²-2BD'*DD'

 因为AE'*EE'=BD'*DD'(上面已证）,

所以上式即 AE²+BD²=AE'²+EE'²+BD'²+DD'²

         因AE'=D'M,BD'=ME'

所以 AE²+BD²=D'M²+EE'²+ME'²+DD'²

            =DM²+ME²（勾股定理）

            =DE²（勾股定理）

        （证毕） 

6.A,B是直线l同侧的两点,且点A和B到l的距离分别为4.5和10.5,且垂足C,D间的距离为8 若点P是l上一点 则AB=? 

过A作AE⊥BD于E

则ACDE是矩形

AC=DE=4.5

AE=CD=8

那么BE=BD-DE=10.5-4.5=6

∠AEB=90°

AB=√(AE²+BE²)=√(8²+6²)=10 

7.已知直角三角形一直边长为13,其余两条边长都是自然数,求此三角形的斜边长.

设令一条直角边为x  则斜边为y

可得 x^2+13^2=y^2

变形,得

13^2=(y+x)(y-x)

因为 y+x与y-x只能为自然数,则  

y+x和y-x只能为 1 13^2和13  13两组数.

因此y-x=1 y+x=13^2  

解得  y=85 x=84

8.如图所示,在四边形ABCD中,AB：BC：CD：DA=2：2：3:1,∠B=90°,求∠BAD的度数. 

图：http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f31fbe09cc645e076b60fb4f.jpg

连接AC,三角形ABC是等腰三角形,AB=2,BC=2,所以AC=2√2,∠BAC=45°.

因为AD=1,AC=2√2,DC=3,勾股定理：AD平方+AC平方=DC平方,所以∠DAC=90°.

所以,∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135° 

上传的那个图是第一题的图,我本来是第一个回答的,但是为了完善答案所以今天又来改了一下,回答者：  麒麟【◣龙 - 五级   2010-6-14 14:00 希望能帮到你,O(∩_∩)O~O(∩_∩)O~,要采纳我哦O(∩_∩)O~O(∩_∩)O~

1.如图1，求Rt△ABC中BC边的长。（初二数学题，用勾股定理做

其中∠B=30°，AB边长12.

解:直角三角形ABC中

因为∠B=30°，AB边长12.

所以AC=6

根据勾股定理BC=√(12²-6²)=6√3 

2.一个初二的勾股定理题，如图2

根据三边长可以求得三角形的面积为12（海伦公式）

所以三角形ABC在AC上的高为24/5

所以MN＝12/5

附海伦公式

已知三角形三边a,b,c，则 （p=(a+b+c)/2）

  S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 

  =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 

3.一道初二勾股定理题 图3 

已知△ABC为等边三角形,P为△内任意一点,AP=4,CP=2,BP=2根号3,求S△ABC 

已知△ABC为等边三角形,P为△内任意一点,AP=4,CP=2,BP=2根号3,求S△ABC 

如图，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，得到△P'AC，连结P'B

则△P'AC≌△PAC，∴AP'＝AP＝4，CP'＝BP＝2√3，∠ACP'＝∠ABP，∠P'AC＝∠PAB

∵∠PAB＋∠PAC＝60°，∴∠P'AC＋∠PAC＝60°

∴∠PAP'＝60°，∴△APP'是等边三角形

∴PP'＝AP＝4，∠APP'＝60°

在△PCP'中，∵CP²＋CP'²＝2²＋(2√3)²＝16，PP'²＝4²＝16

∴CP²＋CP'²＝PP'²，∴△PCP'是直角三角形，∠PCP'＝90°

又PP'＝2CP，∴∠PP'C＝30°，∠CPP'＝60°

∴∠APC＝120°

∵∠PCP'＝90°，∴∠ACP＋∠ACP'＝90°

∴∠ABP＋∠ACP＝90°

又∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝60°，∠ACB＝∠ACP＋∠PCB＝60°

∴∠PBC＋∠PCB＝30°，∴∠BPC＝150°

∴∠APB＝90°，∴AB²＝AP²＋BP²＝4²＋(2√3)²＝28

∴S△ABC＝1/2×AB×√3/2AB＝√3/4AB²＝√3/4×28＝7√3