已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 (1)求点A1到平面EBFD1的距离(2)求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 14:57:03
![已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 (1)求点A1到平面EBFD1的距离(2)求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值](/uploads/image/z/10334682-18-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%AD%A3%E6%96%B9%E4%BD%93ABCD-A1B1C1D1%E6%A3%B1%E9%95%BF%E4%B8%BAa%2CE%2CF%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAAA1%2CCC1%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9+%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E7%82%B9A1%E5%88%B0%E5%B9%B3%E9%9D%A2EBFD1%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82A1D1%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2EBFD1%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E7%8E%84%E5%80%BC)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 (1)求点A1到平面EBFD1的距离(2)求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 (1)求点A1到平面EBFD1的距离
(2)求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 (1)求点A1到平面EBFD1的距离(2)求A1D1与平面EBFD1所成角的正玄值
如图所示,取BB1的中点G,过G作GH⊥D1B于H
因为EBFD1关于D1B轴对称,且与面D1BB1垂直,所以GH等于A1到面EBFD1的距离
因为D1B=√3 a , D1B1=√2 a , 所以sin∠D1BB1=√6 /3
又由于GB=a/2 , GH/GB=sin∠D1BB1=√6 /3
所以GH=√6a/6
即求A1到平面EBFD1的距离是√6a/6
(2)向量法
建立以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的空间直角坐标
A1(a,0,a)D1(0,0,a) B(a,a,0) E(a,0,1/2a)
向量D1A1=(a,0,0)
向量D1E=(a,0,-1/2a)
向量D1B=(a,a,-a)
设向量a是平面EBFD1的法向量
向量a·向量D1E=0
向量a·向量D1B=0
不妨设向量a=(a,a,2a)
cos<向量D1A1,向量a>
=a^2/√a^2*√(6a^2)=√6/6
A1D1与平面EBFD1所成角的正弦值=√(1-1/6)=√30/6
(1)连结EF、A1C1,易证A1C1∥EF,即 A'C'∥平面EBFD1,所以A、P到此平面的距离相等; ∵ P是A1C1的中点、O是EF的中点,∴ PO⊥EF、D1O⊥EF,∴ EF⊥平面D1PO; ∴ P到平面EBFD1即RT△D1PO斜边D1O上的高; 从图上不难看出,PO=a/2,正方体对角线之半 D1P=√2a/2,正方体对角线之半 D1O=√3a/2; ∴ 斜边D1O上的高=(a/2)*(√2a/2)/(√3a/2)=√6a/6;即 A到EBFD1的距离等于 √6a/6; (2)∵ B1C1∥A1D1,∴ A1D1、B1C1与平面EBFD1的夹角相同; ∵ B1B=2倍A1E=2倍C1F,∴ B1到EBFD1的距离=2倍A1到EBFD1的距离=2倍C1到EBFD1的距离; ∴ B1C1与EBFD1夹角的正弦=B1与C1到平面EBFD1的距离差/B1C1=(√6a/6)/a=√6/6;根据题意作右图,其是O是正方体的中心,P是A1C1的中点;