作业帮微积分中分部积分法中,课本上例题的这个替换是什么意思啊?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/02 16:38:50
微积分中分部积分法中,课本上例题的这个替换是什么意思啊?
微积分中分部积分法中,课本上例题的这个替换是什么意思啊?
微积分中分部积分法中,课本上例题的这个替换是什么意思啊?
这样做,就是为了运用分部积分公式.
在积分符号后是udv,即 ∫udv.
由于分部积分是 ∫udv = uv - ∫vdu
单从udv来说,可取三种情况：
第一种情况：u = x,dv = cosxdx = dsinx,v = sinx, udv = xdsinx；也可取
第二种情况：u = xcosx,dv = dx,v = x,udv = (xcosx)dx；也可取
第三种情况：u = cosx,dv = xdx = d[(1/2)x²], udv = cosxd[(1/2)x²]
具体取哪种情况合适?这要分析一下 uv - ∫vdu 中 ∫vdu 的形式.
第一种情况：vdu = sinxdx, ∫vdu = ∫sinxdx = - cosx 轻易就积出来了.
第二种情况：vdu = xd(xcosx) = (xcosx -x²sinx)dx, ∫vdu = ∫[xcosx -x²sinx]dx
越积分越复杂,无法积出来.
第三种情况：vdu = [(1/2)x²]dcosx = -(1/2)x²sinxdx, ∫vdu = -(1/2)∫x²sinxdx
同样越积越复杂,无法积出来.
综合说明：
1、整体来说,能积出的都是特例,就这些特例,已经足够应付一般情况的应用了；
2、楼主课本上的特例,其实就是变量代换法(Substitution),设 u = x, v = sinx
这种变量代换法,是要通过解题才能悟出技巧.
3、国内发展了这种方法,灵活迅速,称为“凑方法”.可惜,我们无人推广,
连一个英文名称也没有去取,国内因为眼高手低的人太多,活活糟蹋了很多方法.
凑方法的特色是：微分积分灵活运功用,运用中最喜欢三个函数：e^x, sinx,cosx
举几个例子：
例一：∫xe^x dx = ∫xde^x
例二：∫xsinxdx = -∫xdcosx
例三：∫lnxcosxdx = ∫lnxdsinx
楼主多练习就能有技巧了,如有疑问,请Hi我.
这是为了与前面的公式对照，你以后做题时不用理会这个，只要会用公式就行了。