作业帮f(x+y)=f(x)+f(y)+xy 有f(1)=1 f(0)=0 求f(x)解析式没说 X∈Z 说怎么证他是二次函数就行
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 17:15:51
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy 有f(1)=1 f(0)=0 求f(x)解析式没说 X∈Z 说怎么证他是二次函数就行
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy 有f(1)=1 f(0)=0 求f(x)解析式
没说 X∈Z
说怎么证他是二次函数就行
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy 有f(1)=1 f(0)=0 求f(x)解析式没说 X∈Z 说怎么证他是二次函数就行
令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+x*1
即f(x+1)=f(x)+x+1
所以
f(x)=f(x-1)+(x-1)+1
即f(x)=f(x-1)+x
f(x-1)=f(x-2)+x-1
f(x-2)=f(x-3)+x-2
……
f(3)=f(2)+3
f(2)=f(1)+2
全部相加
左右相同的抵消
f(x)=f(1)+[2+3+……+(x-1)+x]
2+3+……+(x-1)+x=(2+x)(x-1)/2=(x²+x-2)/2
f(1)=1
所以f(x)=(x²+x)/2
令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+x*1
即f(x+1)=f(x)+x+1
即f(x+1)-f(x)=（f(x+1)-f(x)/(x+1-x)）=f'(x+1)=x+1
积分并带入f（0）=0有f(x)=(x²+x)/2
设:f(x)=a1+a2*x+a3*x^2+... (a1,a2,a3,...为常量)
而:f(0)=0,所以:a1=0
所以:f(x)=a2*x+a3*x^2+...
而:f(x+y)=f(x)+f(y)+xy
所以:f(x+△x)=f(x)+f(△x)+x*△x
(f(x+△x)-f(x))/△x=(f(△x)/△x)+x
lim(△x->无穷小...
全部展开
设:f(x)=a1+a2*x+a3*x^2+... (a1,a2,a3,...为常量)
而:f(0)=0,所以:a1=0
所以:f(x)=a2*x+a3*x^2+...
而:f(x+y)=f(x)+f(y)+xy
所以:f(x+△x)=f(x)+f(△x)+x*△x
(f(x+△x)-f(x))/△x=(f(△x)/△x)+x
lim(△x->无穷小)(f(x+△x)-f(x))/△x =(lim(△x->无穷小) f(△x)/△x)+x
而:
lim(△x->无穷小)(f(x+△x)-f(x))/△x =f'(x)
lim(△x->无穷小) f(△x)/△x =lim(△x->无穷小) (a2+a3*△x+a4*(△x)^2+...)=a2
所以: f'(x)=a2+x
f(x)=∫(a2+x)dx=(1/2)x^2 + a2*x +C (C为常量)
而:f(1)=1, f(0)=0
所以: C=0, a2=1/2
所以: f(x)=(1/2)x^2 + (1/2)x
****用另一种办法做:****
设:f(x)=a1+a2*x+a3*x^2+a4*x^3+... (a1,a2,a3,a4...为常量)
而:f(0)=0,所以:a1=0
所以:f(x)=a2*x+a3*x^2+a4*x^3+...
而:f(x+y)=f(x)+f(y)+xy
所以:f(2x)=f(x+x)=2f(x)+x^2
将f(x)=a2*x+a3*x^2+a4*x^3+...上式,得:
2*a2*x+4*a3*x^2+8*a4*x^3+16*a5*x^4+...=2*a2*x+(2a3+1)*x^2+2a4*x^3+2*a5*x^4+...
所以:
4*a3=2*a3+1
8*a4=2*a4
16*a5=2*a5
所以:a3=1/2, a4=0,a5=0,a6=a7=a8=...=0
所以:f(x)=a2*x+a3*x^2+a4*x^3+...=a2*x+(1/2)x^2
而: f(1)=a2+(1/2)=1
a2=1/2
所以:f(x)=(1/2)x^2 + (1/2)x
收起