如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=√3,求(1)证明PA垂直BO(2)求二面角A-BP-D的正弦值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 07:14:49
![如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=√3,求(1)证明PA垂直BO(2)求二面角A-BP-D的正弦值.](/uploads/image/z/10419325-61-5.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E7%AD%89%E8%85%B0%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAD%2F%2FBC%2CP%E6%98%AF%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%E5%A4%96%E4%B8%80%E7%82%B9%2CP%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%E7%9A%84%E5%B0%84%E5%BD%B1O%E6%81%B0%E5%9C%A8AD%E4%B8%8A%2CPA%3DAB%3DBC%3D2AO%3D2%2CBO%3D%E2%88%9A3%2C%E6%B1%82%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8EPA%E5%9E%82%E7%9B%B4BO%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A-BP-D%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC.)
如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=√3,求(1)证明PA垂直BO(2)求二面角A-BP-D的正弦值.
如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=√3,求(1)证明PA垂直BO(2)求二面角A-BP-D的正弦值.
如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=√3,求(1)证明PA垂直BO(2)求二面角A-BP-D的正弦值.
(1)
∵AO=1,BO=√3,AB=2,
∴AO^2+BO^2=AB^2,BO⊥AD.
∵P在平面ABCD的射影为O,
∴PO⊥平面ABCD,PO⊥BO.
∵BO⊥AD,BO⊥PO,
∴BO⊥平面APD,BO⊥PA.
(2)
设BP中点为Q.
∵∠AOB=∠AOP=90°,AB=AP=2,AO=AO,
∴⊿AOB≌⊿AOP,BO=PO=√3.
∵∠DOB=∠DOP=90°,BO=PO=√3,DO=BC+AO=3,
∴DO^2+BO^2=DB^2,DO^2+PO^2=DP^2,DB=DP=2√3.
∵∠BOP=90°,BO=PO=√3,
∴BO^2+PO^2=BP^2,BP=√6.
∵AB=AP=2,DB=DP=2√3,Q为BP中点,
∴AQ⊥BP,DQ⊥BP,∠AQD是二面角A-BP-D的平面角.
∵AQ^2=2.5,DQ^2=10.5,AD=AO+DO=4,
∴cos∠AQD=(AQ^2+DQ^2-AD^2)/(2*AQ*DQ)= -√105/35,
sin∠AQD=√(1-cos∠AQD^2)=4√70/35.