定积分上限1下限-1根号下1-x平方,别用几何意义求.急..

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/05 02:17:20
定积分上限1下限-1根号下1-x平方,别用几何意义求.急..
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定积分上限1下限-1根号下1-x平方,别用几何意义求.急..
解析：如果不用几何意义求就用换元法!
令x＝sint,则当x＝－1时,t＝－π/2,x＝1时,t＝π/2,所以原式＝
∫(-π/2,π/2)costdsint
＝∫(-π/2,π/2)cos²tdt
＝1/2∫(-π/2,π/2)（1＋cos2t）dt
＝1/2（t＋1/2sin2t）|(-π/2,π/2)
＝π/4－(－π/4)
＝π/2.

令x = sinz，dx = cosz dz
当x = - 1、z = - π/2
当x = 1、z = π/2
∫(- 1→1) √(1 - x^2) dx
= ∫(- π/2→π/2) √(1 - (sinz)^2) * (cosz dz)
= 2∫(0→π/2) |cosz| * cosz dz，由于偶函数，关于x = 0对称，变为原被积函数的两倍

全部展开

令x = sinz，dx = cosz dz
当x = - 1、z = - π/2
当x = 1、z = π/2
∫(- 1→1) √(1 - x^2) dx
= ∫(- π/2→π/2) √(1 - (sinz)^2) * (cosz dz)
= 2∫(0→π/2) |cosz| * cosz dz，由于偶函数，关于x = 0对称，变为原被积函数的两倍
= 2(0→π/2) (cosz)^2 dz
= 2∫(0→π/2) (1 + cos(2z))/2 dz
= [z + (1/2)cos(2z)] |(0→π/2)
= (π/2 + 0) - (0)
= π/2

收起

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