空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 06:31:13
![空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.](/uploads/image/z/1069257-57-7.jpg?t=%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%9E%82%E7%9B%B4+%E5%86%99%E5%87%BA%E5%BF%85%E8%A6%81%E7%9A%84%E6%96%87%E5%AD%97%E8%AF%B4%E6%98%8E%E3%80%81%E8%AF%81%E6%98%8E%E8%BF%87%E7%A8%8B%E5%8F%8A%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%AD%A5%E9%AA%A4%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E6%98%AF%E7%9F%A9%E5%BD%A2%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2CM%E3%80%81N%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAB%E3%80%81PC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AMN%E2%8A%A5AB%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5PA%3DAD%2C%E6%B1%82%E8%AF%81MN%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PCD.)
空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤
如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥AB;
(2)若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
空间的垂直 写出必要的文字说明、证明过程及计算步骤如图所示,已知正方形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN⊥AB;(2)若PA=AD,求证MN⊥平面PCD.
证明:(1)取CD的中点为Q,连接MQ,NQ
∵N、Q分别是PC、CD的中点
∴ NQ‖PD
同理 MQ‖AD
∴MNQ‖PAD
∵PA⊥AB,AD⊥AB
∴PAD⊥AB
∵MNQ‖PAD
∴MNQ⊥AB
∴MN⊥AB
(2)连接PM,CM
则PM=CM
PMC为等腰三角形,MN为其底边上的中线
∴MN⊥PC
另外,AB‖CD,MN⊥AB
∴MN⊥CD
∴MN⊥PCD
1,证明:
取CD的中点Q。
因为PA⊥平面ABCD
所以CD⊥PA
因为ABCD为矩形
所以CD⊥AD
所以CD⊥平面ADP
所以CD⊥PD
因为N为PC中点,Q为CD中点,
所以NQ与PD平行
所以NQ⊥CD 而,AB与CD平行
所以NQ⊥AB
因为M为AB中点,Q为CD中点
所以AB⊥MQ...
全部展开
1,证明:
取CD的中点Q。
因为PA⊥平面ABCD
所以CD⊥PA
因为ABCD为矩形
所以CD⊥AD
所以CD⊥平面ADP
所以CD⊥PD
因为N为PC中点,Q为CD中点,
所以NQ与PD平行
所以NQ⊥CD 而,AB与CD平行
所以NQ⊥AB
因为M为AB中点,Q为CD中点
所以AB⊥MQ
所以AB⊥平面MNQ
所以AB⊥MN
2,证明
PA与AD相等,即PA与BC相等
而,AM与BM相等
且,角PAM等于角CBM为直角
所以△PAM与△CBM全等。
所以PM=CM
又因为N为PC中点
所以MN⊥PC
结合一问中MN⊥CD
得,MN⊥平面PCD
证毕
收起