已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 03:01:56
![已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.](/uploads/image/z/10701217-1-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%2810%5E2x-1%29%2F%2810%5E2x%2B1%29%2C%281%29%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%9F%9F%2C%282%29%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%2Cf%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E5%86%85%E7%9A%84%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%283%29%2C%E5%88%A4%E6%96%ADf%28X%29%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8E.)
已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
已知函数f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1),(1)求f(x)的值域,(2),求证,f(x)是定义域内的增函数,(3),判断f(X)的单调性,并证明.
f(x)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R 在x->-∞时最小 f(x)->-1 x->+∞ 时最大 f(x)->1 所以值域为(-1,1)
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数
(1)令t=10^2x, t>0.f(x)=(t-1)/(t+1)=1-2/(t+1) 值域为(-1,1)
(2)f(x)可以看作复合函数f(t(x)),t(x)为增函数,f(t)为增函数,由复合函数的增减性可知为增函数。
设10^2x+1=t>1 则f(t)=(t-2)/t=1-2/t ①值域(-1,1) ②f'(t)=2/t∧2>0 因此单增 ③单增