为什么说解答本题判断函数的单调性只能用定义法?还是说抽象函数判断单调性只能用定义法

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 23:32:01
为什么说解答本题判断函数的单调性只能用定义法?还是说抽象函数判断单调性只能用定义法
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为什么说解答本题判断函数的单调性只能用定义法?还是说抽象函数判断单调性只能用定义法
已知f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-2/3,当x＞0时,f(x)＜0
(1) 证明f(x)为R上的减函数；
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大和最小值．
（1）证明：∵f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
取x=y=0有f(0)=2f(0)==>f(0)=0,
取y=-x有f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)(x∈R)==>f(x)+f(-x)=0(x∈R)
∴f(-x)=-f(x)(x∈R),由x的任意性可知f(x)为奇函数
设x1＜x2,则x2=x1+(x2-x1),
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)
∵当x＞0时,f(x)＜0
x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0,
∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),
∴f(x)为R上的减函数；
（2）解析：∵f(x)为R上的减函数
∴f(x)在[-3,3]上的最大为f(-3),最小值f(3)
∵f(1)=-2/3
∴f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=[f(1)+f(1)]+f(1)=3f(1)=-2,
又y=f(x)是奇函数；
∴f(-3)=-f(3)=2

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