数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/09 05:18:28
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数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
证明
1、当n=1时
左边=1,右边=2
不等式成立
2、假设n=K,K属于整数成立
则1+1/√2+1/√3+...+1/√K
=1+√2/2+√3/3+...+√n/n<2√n/n
n=1,n=2时显然成立,(自己验证下吧)
假设当n=k时,不等式也成立,即 1+1/√2+1/√3+...+1/√k<2√k
则,当n=k+1时,1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+【1/√(k+1)】
而2√k+【1/√(k+1)】=【2√k×√(k+1)+1】/【√k+1】
...
全部展开
n=1,n=2时显然成立,(自己验证下吧)
假设当n=k时,不等式也成立,即 1+1/√2+1/√3+...+1/√k<2√k
则,当n=k+1时,1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+【1/√(k+1)】
而2√k+【1/√(k+1)】=【2√k×√(k+1)+1】/【√k+1】
<【k+(k+1)+1】/【√k+1】 (利用基本不等式,2√a√b =2(k+1)/【√k+1】 =2√(k+1)
∴当n=k+1时,不等式也成立,∴1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n
不懂追问
收起
当k>1时,1/√k=2/(2√k)<2/(√k+√(k-1))=2(√k-√(k-1))
n=1时,原不等式成立。
n≥2时,只需归纳证明:1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))<2√n
实际上直接化简就可以了
1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))
=1+2√2-2+2√3-2√2+...
全部展开
当k>1时,1/√k=2/(2√k)<2/(√k+√(k-1))=2(√k-√(k-1))
n=1时,原不等式成立。
n≥2时,只需归纳证明:1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))<2√n
实际上直接化简就可以了
1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))
=1+2√2-2+2√3-2√2+···+2√n-2√(n-1)
=2√n-1
<2√n
收起