1-x 除以 1+(x的平方) 的不定积分怎么求?如果分成 1+(x的平方) 分之 一 和 1+(x的平方)分之 -x 又怎么算
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 04:17:39
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1-x 除以 1+(x的平方) 的不定积分怎么求?
如果分成 1+(x的平方) 分之 一 和 1+(x的平方)分之 -x 又怎么算
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(1 - x)/(1 + x²)
= 1/(1 + x²) - x/(1 + x²)
∫ (1 - x)/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
根据方程式,
d/dx arc tan x = 1/(1 + x²)
arc tan x = ∫ 1/(1 + x²) dx
所以,
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c为任何值.
或则,
让 x = tan θ,
dx = sec² θ dθ,
∫ 1/(1 + x²) dx - ∫ x/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
根据三角法则,
1 + tan² θ = sec² θ
所以,
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ (sec² θ)/(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= θ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c为任何值.