已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1-an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/13 17:02:03
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1-an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1-an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+1-an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论
a1=2+1-a1
所以a1=3/2
a2+3/2=4+1-a2
所以a2=7/4
a3+7/4+3/2=6+1-a3
所以a3=15/8
推测an=2-1/2^n
验证,Sn=2n-(1/2+……+1/2^n)=2n-(1-1/2^n)=2n-1+1/2^n=2n-1+2-an=2n+1-an
取n=n+1做差可知a(n+1)=2+an
先代入求a1 a2 a3
证明的话 作差就行了
1)a1=S1=3-a1 ,所以 a1=3/2 ,
因为 S2=a1+a2=5-a2 ,所以 a2=7/4 ,
因为 S3=a1+a2+a3=7-a3 ,所以 a3=15/8 。
2) 推测:an=2-(1/2)^n 。
证明:由 Sn=2n+1-an ,
S(n-1)=2n-1-a(n-1) ,
两式相减,得 an=Sn-S(n-1)=2-an+a...
全部展开
1)a1=S1=3-a1 ,所以 a1=3/2 ,
因为 S2=a1+a2=5-a2 ,所以 a2=7/4 ,
因为 S3=a1+a2+a3=7-a3 ,所以 a3=15/8 。
2) 推测:an=2-(1/2)^n 。
证明:由 Sn=2n+1-an ,
S(n-1)=2n-1-a(n-1) ,
两式相减,得 an=Sn-S(n-1)=2-an+a(n-1) ,
因此 2an=2+a(n-1) ,
两边同除以2得 an=1/2*a(n-1)+1 ,
两边同时减 2 得 an-2=1/2*a(n-1)-1=1/2*[a(n-1)-2] ,
所以 {an-2}是以 -1/2 为首项,1/2 为公比的等比数列,
故 an-2=(-1/2)*(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n ,
所以 an=2-(1/2)^n 。
收起
1、
a1=3/2
a2=2=7/4
a3=15/8
2、猜测:an=[2^(n+1)-1]/(2^n)
证明:
①当n=1时,验证,满足;
②假设当n=k时,ak=[2^(k+1)-1]/(2^k)
则当n=k+1时,
S(k+1)=2(k+1)+1-a(k+1)
Sk=2k+1-ak
两式相减,得:
全部展开
1、
a1=3/2
a2=2=7/4
a3=15/8
2、猜测:an=[2^(n+1)-1]/(2^n)
证明:
①当n=1时,验证,满足;
②假设当n=k时,ak=[2^(k+1)-1]/(2^k)
则当n=k+1时,
S(k+1)=2(k+1)+1-a(k+1)
Sk=2k+1-ak
两式相减,得:
a(k+1)=S(k+1)-Sk=2-a(k+1)+ak
a(k+1)=1+(1/2)ak
=1+(1/2)×[2^(k+1)-1]/(2^k)
=[2^(k+2)-1]/[2^(k+1)]
即当n=k+1时,也成立。
所以,an=[2^(n+1)-1]/(2^n)
收起
S1=2+1-a1
2a1=3
a1=3/2
S2=4+1-a2=a1+a2
a2=7/4
S3=6+1-a3=3/2+7/4+a3
a3=15/8
an=(2^(n+1)-1)/2^n=2-(1/2^n)=2-(1/2)^n
用反证法证明
假设an=2-(1/2)^n
则
Sn=2n-1/2-1/4-1/8-...
全部展开
S1=2+1-a1
2a1=3
a1=3/2
S2=4+1-a2=a1+a2
a2=7/4
S3=6+1-a3=3/2+7/4+a3
a3=15/8
an=(2^(n+1)-1)/2^n=2-(1/2^n)=2-(1/2)^n
用反证法证明
假设an=2-(1/2)^n
则
Sn=2n-1/2-1/4-1/8-,,,,,,,-(1/2)^n
=2n-(1/2+1/4+1/8+,,,,,,,+(1/2)^n)
=2n-(1/2x(1-(1/2)^n)/(1-1/2))
=2n-(1-(1/2)^n)
=2n+(1/2)^n-1
=2n+1-an
成立
所以an=2-(1/2)^n
收起