如图 P是正方形ABCB 内一点 连接AP BP CP使AP=1 BP =2 CP=3 点A.P.C不在一条直线上 求∠APB的度

如图 P是正方形ABCB 内一点 连接AP BP CP使AP=1 BP =2 CP=3 点A.P.C不在一条直线上 求∠APB的度
如图 P是正方形ABCB 内一点 连接AP BP CP使AP=1 BP =2 CP=3 点A.P.C不在一条直线上 求∠APB的度

如图 P是正方形ABCB 内一点 连接AP BP CP使AP=1 BP =2 CP=3 点A.P.C不在一条直线上 求∠APB的度
135° .将三角形APB旋转90°,使AB与BC重合,则得三角形BP‘C即BP'=BP=2；CP'=AP=1,AB=BC=a（a不用求）；连结PP',易知∠PBP'=90°即三角形PBP'为等腰直角三角形,即∠BP'P=∠BPP'=45°；则PP'=2倍根号2,在三角形PP'C中,由勾股定理知：PC^2=P'C^2+PP'^2那么∠PP'C=90°.则∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=90°+45°=135°=∠APB

连接AC，设AB=X,AC=X^(1/2)
在三角形APB中，用余弦定理可得AB^2=（AP^2+BP^2-AP*BP*cos同理在三角形CPB中，用余弦定理可得CB^2=（CP^2+BP^2-AP*BP*cos同理在三角形APC中，用余弦定理可得AC^2=（AP^2+CP^2-AP*CP*cos则可算出∠APB的度数！

135
如果是45度的话就不在正方形内了

120°

设正方形的边长为a
连接AC，则有AC=√2 a
在△ABP △BCP △ACP中分别运用余弦定理
a²=1+4-4cos∠APB (1)
a²=4+9-12cos∠BPC (2)
2a²=1+9-6cos∠APC (3)
(1)(2)可得：cos∠BPC=(2+cos∠APB)/3 (4)
(1)(3)可得...

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设正方形的边长为a
连接AC，则有AC=√2 a
在△ABP △BCP △ACP中分别运用余弦定理
a²=1+4-4cos∠APB (1)
a²=4+9-12cos∠BPC (2)
2a²=1+9-6cos∠APC (3)
(1)(2)可得：cos∠BPC=(2+cos∠APB)/3 (4)
(1)(3)可得：cos∠APC=4cos∠APB/3 (5)
设x=cos∠APB
由(5)可得：sin∠APC=√(9-16x²) /3
由(4)可得：sin∠BPC=√(-x²-4x+5) /3
cos∠APB=cos(360°-∠BPC-∠APC)=cos(∠BPC+∠APC)
=cos∠BPCcos∠APC-sin∠BPCsin∠APC
x=(2+x)/3 * 4x/3 - √(9-16x²) /3 *√(-x²-4x+5) /3
√(9-16x²) *√(-x²-4x+5) =4x²-x
两边平方：8x³-10x²-4x+5=0
4x(2x²-1)-5(2x²-1)=0
(2x²-1)(4x-5)=0
2x²-1=0 或者 4x-5=0 舍
x=±√2/2
∠APB=45°或者135°

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