已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式不过我最感兴趣的是过程——怎么解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 16:51:13
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已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式不过我最感兴趣的是过程——怎么解
已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.
我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式
不过我最感兴趣的是过程——怎么解
已知a,b属于R+,且ab(a+b)=16,求a^2+b^2的最小值.我知道答案是8,而且好像一定要用均值不等式不过我最感兴趣的是过程——怎么解
不一定要用均值不等式的,用均值不等式的方法楼上已经写了,再提供一个方法供你参考,
ab(a+b)=16
a,b属于R+,令ab=m a+b=n,则mn=16
a,b是方程x^2-nx+m=0的两根.
n^2≥4m=64/n n^3≥64 n≥4
a^2+b^2
=(a+b)^2-2ab
=n^2-2m
=n^2-32/n
设n的取值范围内n1,n2,且n2>n1.
n2^2-32/n2-n1^2+32/n1
=(n2+n1)(n2-n1)+32(n2-n1)/(n1n2)>0
随n增大,n^2-32/n单调递增,a^2+b^2当n=4时取得最小值.
(a^2+b^2)min=16-32/4=8
首先:a^2+b^2≥2ab
又(a+b)^2=a^2+b^2+2ab≤2(a^2+b^2)
即(a^2+b^2)≥1/2(a+b)^2
考虑3(a^2+b^2)=(a^2+b^2)+(a^2+b^2)+(a^2+b^2)
≥2ab+2ab+1/2(a+b)^2
≥3〔2ab·2ab·1/2(a+b)^2〕^(1/3)
=3(2·16^2)^1/3<...
全部展开
首先:a^2+b^2≥2ab
又(a+b)^2=a^2+b^2+2ab≤2(a^2+b^2)
即(a^2+b^2)≥1/2(a+b)^2
考虑3(a^2+b^2)=(a^2+b^2)+(a^2+b^2)+(a^2+b^2)
≥2ab+2ab+1/2(a+b)^2
≥3〔2ab·2ab·1/2(a+b)^2〕^(1/3)
=3(2·16^2)^1/3
=3·8
=24
故a^2+b^2的最小值为8,当且仅当①a^2+b^2=a^2+b^2=a^2+b^2
②2ab=2ab=1/2(a+b)^2,即a=b=c时取等号
故所求最小值为8
收起
ab(a+b)>=2(ab)^(3/2)
ab<=4 -2ab>=8
a+b>=4
a^2+b^2+2ab>=16
a^2+b^2>=16-2ab>=8
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(16/ab)^2-2ab
设ab=x,则原式=(16/x)^2-2x
设y=(16/x)^2-2x求导得到y’=-512/x^(3)-2
令y’=0,则x=4,此时取得极值,为最小值
则ab=4,得a+b=4。
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-2*4=8