已知椭圆x^2/a^2+y^/b^2=1的离心率为1/2,且椭圆的中心关于直线x-3y-10=0的对称点在椭圆的右准线上(1)求椭圆方程(2)设A(M,0),B(1/m,0)(0<m<1)是x轴上的两点,过点A作斜率不为0的直线与椭圆交于M
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 17:11:35
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已知椭圆x^2/a^2+y^/b^2=1的离心率为1/2,且椭圆的中心关于直线x-3y-10=0的对称点在椭圆的右准线上(1)求椭圆方程(2)设A(M,0),B(1/m,0)(0<m<1)是x轴上的两点,过点A作斜率不为0的直线与椭圆交于M
已知椭圆x^2/a^2+y^/b^2=1的离心率为1/2,且椭圆的中心关于直线x-3y-10=0的对称点在椭圆的右准线上
(1)求椭圆方程
(2)设A(M,0),B(1/m,0)(0<m<1)是x轴上的两点,过点A作斜率不为0的直线与椭圆交于M,N两点,作直线BN交椭圆与点E,证明三角形BME是等腰三角形
已知椭圆x^2/a^2+y^/b^2=1的离心率为1/2,且椭圆的中心关于直线x-3y-10=0的对称点在椭圆的右准线上(1)求椭圆方程(2)设A(M,0),B(1/m,0)(0<m<1)是x轴上的两点,过点A作斜率不为0的直线与椭圆交于M
此题关键是第二问
1)e=c/a=1/2
a=2c
b=根号3c
准线x=a²/c=4c
设对称点是(4c,y)
根据题目意思有(4c,y)关于x-3y-10=0的对称点是(0,0)
所以2c-3y/2-10=0
y/4c=-3
y=-12c
2c+8c-10=0 c=1
所以a=2
所以椭圆方程式
x²/4+y²/3=1
2)
事实上只要证明M,E关于x轴对称就可以了,这个是很容易猜的
因为m任取,如果m很小,那么B就在x轴很远,但是仍然要保持等腰
只可能是M,E关于x轴对称,这样我们可以构造点E出来
证明N,E,B三点共线
设M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1)
MN:x=m+ky
这样x1y2+x2y1=m(y1+y2)+2ky1y2
将MN和椭圆联立:
My^2+2mky+m^2-1=0(二次项系数是多少我们并不感兴趣,只要找个数代替就可以了)
要证明B,N,E共线,写出NE方程,只要证明B代进去方程=0就可以了
这个条件就是
1/m*(y1+y2)=x1y2+x2y1,根据前面计算也就是要证
(1-m^2)(y1+y2)=2mky1y2
根据韦达定理
(y1+y2)/y1y2=2mk/(1-m^2)
所以得证
因此B,N,E共线
所以M,E关于x轴对称
所以等腰
证毕
3.14*56*7