如图:分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.EG,BC的中点分别为N,M.证明:N,P,M,P为正方形的顶点.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/02 17:39:09
如图:分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.EG,BC的中点分别为N,M.证明:N,P,M,P为正方形的顶点.
如图:分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.
EG,BC的中点分别为N,M.证明:N,P,M,P为正方形的顶点.
如图:分别以三角形ABC的边AB,AC为边,在三角形的外侧作正方形ABDE,ACFG.正方形的中心分别为P,Q.EG,BC的中点分别为N,M.证明:N,P,M,P为正方形的顶点.
令BG与CE相交于J、BG与AC相交于K.
∵P是正方形ABDE的中心, ∴P是BE的中点,又N是EG的中点,
∴NP是△BEG的中位线, ∴NP=BG/2、NP∥BG.
∵Q是正方形ACFG的中心, ∴Q是CG的中点,又M是BC的中点,
∴MQ是△BCG的中位线, ∴MQ=BG/2、MQ∥BG.
由NP=BG/2、MQ=BG/2,得:NP=MQ. 由NP∥BG、MQ∥BG,得:NP∥MQ.
由NP=MQ、NP∥MQ,得:NPMQ是平行四边形.
∵ABDE、ACFG都是正方形, ∴∠BAE=∠CAG=90°、AC=AG、AB=AE.
而∠CAE=∠BAC+∠BAE=∠BAC+90°=∠BAC+∠CAG=∠GAB.
∴△ACE≌△AGB, ∴CE=BG、∠ACE=∠AGB.
∵P、M分别是BE、BC的中点, ∴MP=CE/2.
由CE=BG、MP=CE/2、NP=BG/2,得:MP=NP, ∴平行四边形NPMQ是菱形.
显然有:∠AGB+∠AKG=90°,而∠AGB=∠ACE、∠AKG=∠CKJ,
∴∠ACE+∠CKJ=90°, ∴CE⊥BG,结合证得的NP∥BG、MQ∥BG,得:NP⊥MP,
∴菱形NPMQ是正方形, ∴N、P、M、Q是正方形的顶点.