初中几何题,正三角形中求线段长.△ABC为等边三角形,P、E、F分别是BC、AB、AC上的点,∠EPF=120°.作∠EPF的角平分线分别交AC于N,交BA延长线于M,直线EP与BN相交于点G,已知PB=2PC=10,CN/BM=3/4,求NG的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 06:19:42
![初中几何题,正三角形中求线段长.△ABC为等边三角形,P、E、F分别是BC、AB、AC上的点,∠EPF=120°.作∠EPF的角平分线分别交AC于N,交BA延长线于M,直线EP与BN相交于点G,已知PB=2PC=10,CN/BM=3/4,求NG的长.](/uploads/image/z/11551315-67-5.jpg?t=%E5%88%9D%E4%B8%AD%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98%2C%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E4%B8%AD%E6%B1%82%E7%BA%BF%E6%AE%B5%E9%95%BF.%E2%96%B3ABC%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2CP%E3%80%81E%E3%80%81F%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFBC%E3%80%81AB%E3%80%81AC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%82%B9%2C%E2%88%A0EPF%3D120%C2%B0.%E4%BD%9C%E2%88%A0EPF%E7%9A%84%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4AC%E4%BA%8EN%2C%E4%BA%A4BA%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8EM%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFEP%E4%B8%8EBN%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9G%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5PB%3D2PC%3D10%2CCN%2FBM%3D3%2F4%2C%E6%B1%82NG%E7%9A%84%E9%95%BF.)
初中几何题,正三角形中求线段长.△ABC为等边三角形,P、E、F分别是BC、AB、AC上的点,∠EPF=120°.作∠EPF的角平分线分别交AC于N,交BA延长线于M,直线EP与BN相交于点G,已知PB=2PC=10,CN/BM=3/4,求NG的长.
初中几何题,正三角形中求线段长.
△ABC为等边三角形,P、E、F分别是BC、AB、AC上的点,∠EPF=120°.作∠EPF的角平分线分别交AC于N,交BA延长线于M,直线EP与BN相交于点G,已知PB=2PC=10,CN/BM=3/4,求NG的长.
初中几何题,正三角形中求线段长.△ABC为等边三角形,P、E、F分别是BC、AB、AC上的点,∠EPF=120°.作∠EPF的角平分线分别交AC于N,交BA延长线于M,直线EP与BN相交于点G,已知PB=2PC=10,CN/BM=3/4,求NG的长.
设∠FPC=α 则∠PNC=60- α ∠BPE=60-α ∠M= α
由正弦定理得:CN/sin(60+α)=5/sin(60-α ) BM/sin(120-α )=10/sinα
∵sin(120-α )=sin[180-(120- α )]=sin(60+α) ∴上述两式相除:
CN/BM=5sinα/(10sin(60-α)=3/4
sinα=3/2sin(60-α)=3/2(√3/2*cosα-1/2*sinα)
4sinα=3√3cosα-3sinα
tan α=3√3 /7
CN=5*(√3/2*cosα+1/2*sinα)/(√3/2*cosα-1/2*sinα)
=5*(√3/2+1/2*tanα)/(√3/2-1/2*tanα)
=5*(√3/2+3√3/14)/(√3/2-3√3/14)
=5*(7√3+3√3)/(7√3-3√3)
=12.5
AN=2.5
BN=√(15^2+12.5^2-2*15*12.5/2)=5√31/2
2.5/sin∠ABN=(5√31/2)/(√3/2)
sin∠ABN= √93/62 cos∠ABN=11√31/62
sin∠BGP=sin(∠ABN+∠BEG)= √93/62cos(60+α)+11√31/62sin(60+α)
BG=15sin(60-α)/sin∠BGP=15(√3/2*cosα-1/2*sinα)/[√93/62cos(60+α)+11√31/62sin(60+α)]
=15*62(√3-tanα)/[√93(1-√3tanα)+11√31 (√3+tanα)]
=15*62(7√3-3√3 )/[√93(7-√3*3√3 )+11√31 (7√3+3√3 )]
=10√31 / 9
∴NG=5√31/2-10√31 / 9=25√31 /18 ≈7.7330
根据双垂直模型的变形,证明三角形相似,从而求出线段长。
我用cad画了一下,答案为9.7951
题难度不太大,但是太麻烦,好算的部分,CN=25,AN=5,AM=10/3