椭圆离心率已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,右焦点是F,过F点作直线与长轴垂直,与椭圆交于P,Q两点.（1）若∠PBF=60°,求椭圆的离心率

椭圆离心率已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,右焦点是F,过F点作直线与长轴垂直,与椭圆交于P,Q两点.（1）若∠PBF=60°,求椭圆的离心率
椭圆离心率
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,右焦点是F,过F点作直线与长轴垂直,与椭圆交于P,Q两点.
（1）若∠PBF=60°,求椭圆的离心率

椭圆离心率已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,右焦点是F,过F点作直线与长轴垂直,与椭圆交于P,Q两点.（1）若∠PBF=60°,求椭圆的离心率
PQ是x=c
代入椭圆
c^2/a^2+y^2/b^2=1
y^2=b^2(1-c^2/a^2)=b^2(a^2-c^2)/a^2=b^2*b^2/a^2=b^4/a^2
假设P在x轴上方
y=b^2/a
则PF=b^2/a=(a^2-c^2)/a
B(a,0),所以BF=a-c
∠PBF=60°
所以PF/BF=tan60=√3
[(a^2-c^2)/a]/(a-c)=√3
a^2-c^2=√3a^2-√3ac
c^2-√3ac+(√3-1)a^2=0
把c看做未知数
判别式=3-4√3+4=7-2√12=(2-√3)²
所以c=[a√3±a(2-√3)]/2
c/a=[√3±(2-√3)]/2
0所以取负号
所以e=c/a=√3-1

先求出Lab的直线方程bx-ay+ab=0.再用F点到直线LAB距离D＝｜-bc+ab|/Va2+b2=b/V7.得7a2-14ac=7b2=2a2-c2. 所以8e2-14e+5=0.得e=1/2.(另一根5／4大于1舍去）．

1/2
P(c,b^2/a) tan60=(b^2/a)÷（a-c）=√3
a^2+b^2=c^2
(a^2-c^2)/(a^2-ac)=√3上下同除c^2得
e^2+√3e=√3+1,解得e=1/2