一道条件简单但超级难的数学题!

一道条件简单但超级难的数学题!
一道条件简单但超级难的数学题!

一道条件简单但超级难的数学题!
用向量外积表示面积,表达更简明.
假定这个图形在XOY平面上.为了简明起见,原点O至各点的向量就用那个字母来表示,比如向量OA就用A表示.
若原点O在图中△ABC的内部,则用向量法表示,△OAB的面积＝½(A×B)．
这里×不是普通乘法,而是向量外积.你不用管外积是什么,这就相当于它的定义了.
外积的运算规则
1、负交换律：A×B＝－B×A.(也就是说面积是有向的),
2、平行相消律：A×A＝0.(可由1推得,因为A×A＝－A×A,这个按定义也易理解).
3、对加法的结合律：A×(B＋C)= A×B＋A×C
那么图中△ABC的2倍面积＝(B－A)×(C－A)＝(A×B＋B×C＋C×A)
易得四边形ABCD的2倍面积＝2△ABC的面积＋2△CDA的面积
＝A×B＋B×C＋C×D＋D×A
2△RMN的面积＝M×N＋N×R＋R×M
M、N分别是AC、BD的中点,故M＝½(A＋C),N＝½(B＋D)
A、B、R共线,故2△ABR的面积＝A×B＋B×R＋R×A＝0,同理,C×D＋D×R＋R×C＝0
所以2△MNR的面积＝¼(A＋C)×(B＋D)＋½(B＋D)×R＋½R×(A＋C)
＝¼(A×B＋A×D＋C×B＋C×D)＋½(B×R＋R×A)＋½(D×R＋R×C)
＝¼(A×B＋A×D＋C×B＋C×D)－½A×B－½C×D
＝－¼(A×B＋B×C＋C×D＋D×A)＝－¼四边形ABCD的2倍面积
对于无方向的面积,就是△RMN的面积是四边形ABCD面积的四分之一｡
(注：结果出现负四分之一倍,是因为ABCD与RMN旋向相反)

有难度，不过因该想的出的。。。等等

用解析法比较简单
把图形放到直角坐标系中考虑
设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),M((xA+xC)/2,(yA+yC)/2),N(xB+xD)/2,(yB+yD)/2)
S(四边形ABCD)
=|(xA-xB)(yA+yB)+(xB-xC)(yB+yC)+(xC-xD)(yC+yD)+(xD-xA)(yD+yA)|/2

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用解析法比较简单
把图形放到直角坐标系中考虑
设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),M((xA+xC)/2,(yA+yC)/2),N(xB+xD)/2,(yB+yD)/2)
S(四边形ABCD)
=|(xA-xB)(yA+yB)+(xB-xC)(yB+yC)+(xC-xD)(yC+yD)+(xD-xA)(yD+yA)|/2
=|xAyB-xByA+xByC-xCyB+xCyD-xDyC+xDyA-xAyD|/2 ...(1)
设R(x,y),由R在AB,CD的延长线上:
(y-yA)(x-xA)=(yB-yA)/(xB-xA)
(y-yC)(x-xC)=(xD-xC)/(yD-yC)
整理:
(xB-xA)y+(yA-yB)x=xByA-xAyB ...(3)
(xD-xC)y+(yC-yD)x=xDyC-xCyD ...(4)
向量MR=((xA+xC-2x)/2,(yA+yC-2y)/2)
向量NR=((xB+xD-2x)/2,(yB+yD-2y)/2)
S(⊿RMN)
=|向量MR×向量NR|/2
=|(xA+xC)(yB+yD)-(xB+xD)(yA+yC)+2(yA-yB)x+2(xB-xA)y+2(yC-yD)x+2(xD-xC)y|/8 (以(3),(4)式代入)
=|xAyB-xByA+xCyB-xByC+xAyD-xDyA+xCyD-xDyC+2xByA-2xAyB+2xDyC-2xCyD|/8
=|xByA-xAyB+xCyB-xByC+xDyC-xCyD+xAyD-xDyA|/8 ...(2)
比较(1),(2)两式
S(⊿RMN)=1/4S(四边形ABCD)
得证

收起

我明天帮你想想看！应该可以的

+提示你一下
取AB BC CD DA之中点G F E H
平行四边形GFEH的面积=四边形ABCD面积的一半
S多边形EHGNM=S多边形GFEMN=1/2 S四边形GFEH（可以由3次全等证明）
S△EHM=S△RHM S△GHN=S△RHN
所以S△RNM＝S多边形EHGNM＝。。。。