高中函数不等式已知f(x)=ax^2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|同问1,2,3L,为什么当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 00:44:42
高中函数不等式已知f(x)=ax^2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|同问1,2,3L,为什么当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1
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高中函数不等式已知f(x)=ax^2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|同问1,2,3L,为什么当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1
高中函数不等式
已知f(x)=ax^2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|
同问1,2,3L,为什么当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1

高中函数不等式已知f(x)=ax^2+bx+c在[0,1]上满足|f(x)|同问1,2,3L,为什么当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1
这个题嘛,分析下
既然是求最大值,那么一般是边界情况或者平衡情况.
也就是也许是在f(0)=f(1)=1 ,那么对称轴f(1/2)=-1 的时候取到
即|f(0)|,|f(1/2)|,|f(1)|都取到1的时候
有了这个猜想,接下去就是根据它来证明了
既然涉及到f(0),f(1/2),f(1),那么根据多项式的定理,a,b,c可以由它们唯一确定：
f(0)=c f(1/2)=a/4+b/2+c f(1)=a+b+c
得b=4f(1/2)-3f(0)-f(1)
a=2f(0)-4f(1/2)+2f(1)
那么|a|+|b|+|c|
=|2f(0)-4f(1/2)+2f(1)|+|3f(0)+f(1)-4f(1/2)|+|f(0)|
看到这里,自然想去用绝对值不等式放缩,但是,能否取到等号呢?
显然没问题,根据绝对值不等式取等条件2f(0),-4f(1/2),2f(1)要同号
3f(0),f(1),-4f(1/2)要同号
这跟我们的猜想一致
所以|a|+|b|+|c|
=|2f(0)-4f(1/2)+2f(1)|+|3f(0)+f(1)-4f(1/2)|+|f(0)|

我感觉应该是17 当 a=8 b=-8 c=1的时候。如果a=0 就不用讨论了。肯定求得的不是最大值、成了一个一次函数或者常数函数。不信LZ自己做做。
由不等式得出 -1≤f(x)≤1
然后画图，三种。第一种 单调递增
第2种 单调递减
第3种 不单调，就是对称轴在 给定区间内。由于 a的绝对值越大，开口越小。并且要满足上述不等式。所以 当且仅当 f(0)=...

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我感觉应该是17 当 a=8 b=-8 c=1的时候。如果a=0 就不用讨论了。肯定求得的不是最大值、成了一个一次函数或者常数函数。不信LZ自己做做。
由不等式得出 -1≤f(x)≤1
然后画图，三种。第一种 单调递增
第2种 单调递减
第3种 不单调，就是对称轴在 给定区间内。由于 a的绝对值越大，开口越小。并且要满足上述不等式。所以 当且仅当 f(0)=f(1)=1 f(0.5)=-1 解得 a=8 b=-8 c=1 然后就有最大值 17.

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首先|f(0)|=∣c|≤1,|f(1)|=∣a+b+c∣≤1,f(1/2)=∣a/4+b/2+c∣≤1
于是∣b∣=∣4(a/4+b/2+c)-(a+b+c)-3c∣≤∣4(a/4+b/2+c)∣+∣(a+b+c)∣+∣3c∣≤4+1+3=8
∣a∣=∣4(a/4+b/2+c)-2(a+b+c)-2c∣≤
∣4(a/4+b/2+c)∣+∣2(a+b+c)∣+∣2c∣...

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首先|f(0)|=∣c|≤1,|f(1)|=∣a+b+c∣≤1,f(1/2)=∣a/4+b/2+c∣≤1
于是∣b∣=∣4(a/4+b/2+c)-(a+b+c)-3c∣≤∣4(a/4+b/2+c)∣+∣(a+b+c)∣+∣3c∣≤4+1+3=8
∣a∣=∣4(a/4+b/2+c)-2(a+b+c)-2c∣≤
∣4(a/4+b/2+c)∣+∣2(a+b+c)∣+∣2c∣≤4+2+2=8
│a│+│b│+│c│≤8+8+1=17
又当a=8,b=-8,c=1,x∈[0,1]时，f(x)=8x^2-8x+1=8(x-0.5)²-1∈[-1,1],所以│a│+│b│+│c│的最大值为17.

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