如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 17:34:00
如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);
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如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);
如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,
过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);

如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.(2)连接AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示);
考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;矩形的性质.
专题:探究型.
分析:(1)假设存在一点P,使点Q与点C重合,再设AP的长为x,利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长,再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值;
(2)连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC,△APD∽△BQP,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式;
(3)连接DQ,把四边形PQCD化为两个直角三角形,再用m表示出PD及CQ的长,利用三角形的面积公式即可解答.
(1)存在点P.
假设存在一点P,使点Q与点C重合,如图1所示,设AP的长为x,则BP=10﹣x,
在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(10﹣x)2,
在Rt△PCD中,CD2=DP2+PC2,即102=42+x2+42+(10﹣x)2,
解得x=2或8,
故当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合,此时AP=2或8;
(2)连接AC,设BP=x,则AP=m﹣x,
∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴ = ,即 = ①,
∵DP⊥PQ,
∴∠APD+∠BPQ=90°,
∵∠APD+∠ADP=90°,∠BPQ+∠PQB=90°,
∴∠APD=∠BQP,
∴△APD∽△BQP,
∴ = ,即 = ②,
①②联立得,BQ= ;
(3)连接DQ,
设AP=x,由(1)知在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2,
在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(m﹣x)2,
若△PQD为等腰三角形,则42+x2=42+(m﹣x)2,
解得x= ,
∵BQ= ,
∴CQ=4﹣ = ,
∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ,
即S= × × + × ×m= (m>4).

连接DQ,由已知 PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,
∴△PBQ≌△DAP,
∴PB=DA=4,AP=BQ=m-4,
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:
S四边形PQCD=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=4m- 12×4×(m-4)- 12×4×(m-4)=16(...

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连接DQ,由已知 PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,
∴△PBQ≌△DAP,
∴PB=DA=4,AP=BQ=m-4,
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:
S四边形PQCD=S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=4m- 12×4×(m-4)- 12×4×(m-4)=16(4<m≤8).
═16(4<m≤8).
连接AC,设BP=x,则AP=m-x,
∵PQ∥AC,
∴△PBQ∽△ABC,
∴ BQBC= BPAB,即 BQ4= xm①,
∵DP⊥PQ,
∴∠APD+∠BPQ=90°,
∵∠APD+∠ADP=90°,∠BPQ+∠PQB=90°,
∴∠APD=∠BQP,
∴△APD∽△BQP,
∴ ADPB= APBQ,即 4x= m-xBQ②,
①②联立得,BQ= 4m2-64m2;

收起

根据函数关系可以建立一定的坐标系,(题目没看到图)我选择以B为原点:建立坐标,
有:C(4,0),D(4,10),设P(0,Y)可得:两直线垂直关系,斜率乘积为-1,或者采用向量之间关系,
K1=(10-Y)/4;K2=-Y/4,K1×K2=-1,解得(Y-8)(Y-2)=0,所以Y=8,或者Y=2,
因此AP=8或者AP=2。
(2)因为PQ∥AC,两直线平行,斜...

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根据函数关系可以建立一定的坐标系,(题目没看到图)我选择以B为原点:建立坐标,
有:C(4,0),D(4,10),设P(0,Y)可得:两直线垂直关系,斜率乘积为-1,或者采用向量之间关系,
K1=(10-Y)/4;K2=-Y/4,K1×K2=-1,解得(Y-8)(Y-2)=0,所以Y=8,或者Y=2,
因此AP=8或者AP=2。
(2)因为PQ∥AC,两直线平行,斜率相等,且A(0,m),Q(X,0)有:
KAC=-m/4,KPQ=-Y/X,又因为PQ⊥PD,因此有:(m-Y)Y=4X,KAC=KPQ,联立解得:
m^2×(4-X)=64,所以X=4-8/m;为所求,因此BQ=4-8/m;
(3)因为△PQD为等腰三角形,且∠DPQ=90°,所以PD=PQ,根据边长关系可得:
Y^2+X^2=16+(Y-m)^2;
面积S=S1+S2(S1=1/2XPDXPQ;S2=1/2XQCXCD) 可以得出:
X^2=16-2Ym+m^2;4X=mY-Y^2;S=1/2[16+(Y-m)^2]+1/2(4-x)m;
即可推出S的关系式

收起

∵ PQ∥AC,∴ ∠BQP=∠BCA,∠BPQ=∠BAC
又 ∠DPQ=90°,∠APD+∠ADP=90°=∠APD+∠BPQ,
∴∠ADP=∠BPQ=∠BAC
∴ △ADP∽△ABC,∴ AP/BC=AD/AB,即 AP=AD*BC/AB=16/m
BP=AB-AP=m-16/m=(m^2-16)/m
△PBQ∽△ABC,∴ BQ/BC=BP/AB,BQ=BP*BC/AB=4(m^2-16)/m^2=4-16/m^2

如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AD=4cm.角AOD=60°,求矩形ABCD的面积 如图在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AD=4cm,∠AOD=60°,求矩形ABCD的面积 如图,在矩形ABCD中,AD=12cm,P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运 A如图,在矩形ABCD中,AD=12cm,P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动,点Q在BC边上,以每秒4cm的速度从C点出发,在CB间往返运动,二点同时 在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,P点在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=12cm,点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动,Q以每秒4cm的速度从点C出发,在B、C两点之间做往返运动,两 如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.四边形ACED是什么图形如题:在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.四边形ACED是什么图形? 21.如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=10cm,动点P由点A(起点)沿着折线ABCD向点D(终点)移动.设点P移动 如图①,在矩形abcd中,ab=20cm,bc=4cm,点p从a 如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,AD=10cm.若AB边沿A→B方向每秒伸长3cm,AD边沿D→A方向每秒缩短2cm……详见补充如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,AD=10cm.若AB边沿A→B方向每秒伸长3cm,AD边沿D→A方向每秒缩短2cm,经t秒 如图,在矩形ABCD中,BD=2AB.(1)求角ADB的度数.(2)若AD=3cm,求矩形ABCD的面积 如图,在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF垂直于EC,且EF=EC,DE=4cm矩形ABCD的周长为32cm求AE 如图在矩形ABCD中 E是AD上的一点 F是BC上的一点 EF垂直EC EF=EC DE=4cm 矩形ABCD的周长为32cm求AE的长 如图在矩形ABCD中 E是AD上的一点 F是BC上的一点 EF垂直EC EF=EC DE=4cm 矩形ABCD的周长为32cm求AE的长 如图,在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF垂直于EC,且EF=EC,DE=4cm矩形ABCD的周长为32cm求EC 如图,在平行四边形ABCD中,M是AD的中点,连接BM、CM.若BM=CM,试试说明平行四边形ABCD是矩形 如图,在矩形ABCD中,AD=8cm,对角线BD比边AB长4cm,求AB的长及点A到BD的距离 如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,点E.F分别在BC,AD上,且矩形BEFA相似于矩形ABCD求BE ,CE的长.初二下相似三角形 23、如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时 如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.四边形ACED是什么图形,求出面积