【大一数学的简单问题】【求真相帝】1.(tanx-x)/x^n=a 求n及a的值 是关于等价无穷小的问题2.证明 不存在矩阵A、B使得AB-BA=I第一步没看懂 不要用太复杂的方法，我们刚学微积分，

【大一数学的简单问题】【求真相帝】1.(tanx-x)/x^n=a 求n及a的值 是关于等价无穷小的问题2.证明 不存在矩阵A、B使得AB-BA=I第一步没看懂 不要用太复杂的方法，我们刚学微积分，
【大一数学的简单问题】【求真相帝】
1.(tanx-x)/x^n=a 求n及a的值 是关于等价无穷小的问题
2.证明 不存在矩阵A、B使得AB-BA=I
第一步没看懂 不要用太复杂的方法，我们刚学微积分，

【大一数学的简单问题】【求真相帝】1.(tanx-x)/x^n=a 求n及a的值 是关于等价无穷小的问题2.证明 不存在矩阵A、B使得AB-BA=I第一步没看懂 不要用太复杂的方法，我们刚学微积分，
洛必达法则 是必须的 别的解法就行

tanx-x与1/3x^3是等价无穷小，所以n=3，a=1/3

1.第一题我理解成左式在x->0时的极限为a了，而且a>0。估计肯定是这样。
洛必达法则你们应该学了的，上下同时求导数之后变成(secx^2-1)/n(x^(n-1))，改写成(1/cosx^2)*(1-cosx^2)/n(x^(n-1))，乘号右边再上下同时求一次导变成
(2cosx*sinx)/n(n-1)(x^(n-2))=sin2x/n(n-1)(x^(n-2))
...

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1.第一题我理解成左式在x->0时的极限为a了，而且a>0。估计肯定是这样。
洛必达法则你们应该学了的，上下同时求导数之后变成(secx^2-1)/n(x^(n-1))，改写成(1/cosx^2)*(1-cosx^2)/n(x^(n-1))，乘号右边再上下同时求一次导变成
(2cosx*sinx)/n(n-1)(x^(n-2))=sin2x/n(n-1)(x^(n-2))
第三次求导变成2cos2x/n(n-1)(n-2)(x^(n-3))
极限存在且不为0的话，可以逆推回原来的极限存在且不为0。因为分子极限是2，因此n=3，a=1/3
也可以将式子变形为(sinx-xcosx)/(x^n)cosx，然后将分子展成级数：
sinx-xcosx=x-1/3!x^3+1/5!x^5+...-x(1-1/2!x^2+1/4!x^4)
=(1/2-1/6)x^3+o(x^3)
=1/3x^3+o(x^3)
然后直接得到n=3，a=1/3的结论
2.这是一道多么经典的问题啊……经典到你用百度搜索“AB-BA=I”就能搜到答案了……
考虑AB和BA主对角线元素的和（称作方阵的trace（迹），记作tr(M))
∑ ∑aij*bji=∑ ∑aji*bij=
i j i j
两者相等。
若AB-BA=I，则tr(AB-BA)=tr(I)=n，又tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0矛盾

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1.e^(tanx)=1+tanx+o(x), e^(sinx)=1+sinx+o(x)
因此e^(tanx)-e^(sinx)=tanx-sinx+o(x)=x^3/2+o(x^3)+o(x)=o(x)
注意，这一步是对的，因为都是等式，只不过仅把tanx-sinx估计得很准还不足以解决问题而已。
上面的不白做，可以看出来tanx-sinx相消的程度，然后可以决定展开到三...

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1.e^(tanx)=1+tanx+o(x), e^(sinx)=1+sinx+o(x)
因此e^(tanx)-e^(sinx)=tanx-sinx+o(x)=x^3/2+o(x^3)+o(x)=o(x)
注意，这一步是对的，因为都是等式，只不过仅把tanx-sinx估计得很准还不足以解决问题而已。
上面的不白做，可以看出来tanx-sinx相消的程度，然后可以决定展开到三次再看上面的o(x)项的具体情况
e^(tanx)=1+tanx+tan^2x/2+tan^3x/6+o(x^3)
e^(sinx)=1+sinx+sin^2x/2+sin^3x/6+o(x^3)
于是
e^(tanx)-e^(sinx)
=(tanx-sinx)(1+(tanx+sinx)/2+(tan^2x+tanxsinx+sin^2x)/6)+o(x^3)
=tanx(1-cosx)(1+o(1))+o(x^3)
=x^3/2+o(x^3)
2，证明一个结论：tr(AB)=tr(BA)
只要把AB和BA的迹用aij和bij表示出来就证明了
所以tr(AB-BA)=0，得出矛盾

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