一道超有难度的高中不等式加几何问题三角形ABC,CDE都是正三角形,AB长为a,DE长b,O为BE中点,求ADO面积的最值

一道超有难度的高中不等式加几何问题三角形ABC,CDE都是正三角形,AB长为a,DE长b,O为BE中点,求ADO面积的最值
一道超有难度的高中不等式加几何问题
三角形ABC,CDE都是正三角形,AB长为a,DE长b,O为BE中点,求ADO面积的最值

一道超有难度的高中不等式加几何问题三角形ABC,CDE都是正三角形,AB长为a,DE长b,O为BE中点,求ADO面积的最值
这种题型涉及到的是参数的转换即把所求的量转换成比较容易求的量.已知条件都是边,那么面积最值就必需求角的最值.老实说有的难度.下面来分析一下：
连接BD,AE分别交AO,DO于M,N两点（这是必须的）
则∠BCD=∠ACE=60°+∠BCE又AC=BC=a,EC=DC=b,
得S(△ACE)=S(△BCD)
=1/2(ab*sin∠ACE)
=1/2[ab*sin(360°-60°-∠ACD)]
=1/2[ab*sin(300°-∠ACD)]
S（△AOD）=S（△AMD)+S（△DOM)
=[S(△ABD)-S(△ABM)]+[S(△BOD)-S(△BOM)]
=S(△ABD)+S(△BOD)-S(△ABO)
=[S(△ABC)+S(△BCD)+S(△ACD)]+S(△BOD)-S(△ABO)
同理可证S(△AOD)=[S(△DCE)+S（△ACE)+S(△ACD]+S(△AOE)-S(△DEO)
则2S(△AOD)=S(△ABC)+2S(△ACE)+2S(△ACD)+S(△DCE)+[S(△AOE)-S(△ABO)]+[S(△BOD)-S(△DEO)]
已知O为BE的中点则S(△AOE)=S(△ABO),S(△BOD)=S(△DEO) (这两个等式可由正弦定理推得）
可得2S(△ADO)=S(△ABC)+S(△DCE)+2S(△ACE)+2S(△ACD)
=1/2(a^2*sin60°）+1/2(b^2*sin60°）+ab*sin(300°-∠ACD)+ab*sin∠ACD
=(√3/4)(a^2+b^2)+ab*[sin(300°-∠ACD)+sin∠ACD]
欲求S(△ADO)的最值只需求[sin(300°-∠ACD)+sin∠ACD]的最值
sin(300°-∠ACD)+sin∠ACD=-sin(60°+∠ACD)+sin∠ACD=-sin60°cos∠ACD-cos60°sin∠ACD+sin∠ACD=sin(∠ACD-60°）
当∠ACD=60°时上式有最小值0则(min)S(△ADO)=(√3/8)(a^2+b^2)
当∠ACD=150°时上式有最大值1则（max)S(△ADO)=(√3/8)(a^2+b^2)+(1/2)ab

可以建立极坐标系。具体我再想想

由图得a>b 设其为S 则 1/8*（a^2+b^2)(√3-（a^2+b^2 )/2（a^2-b^2 ) 《S《1/8*（a^2+b^2)(√3+（a^2+b^2 )/2（a^2-b^2 ) (左边是负的话就加绝对值。。等号成立条件见下）
建立复平面 每个字母对应的复数为其小写字母 设o=0 b=(-x,0) e=(x,0) c=x0+iy0 a=x1+iy1 d=x2+iy2 ...

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由图得a>b 设其为S 则 1/8*（a^2+b^2)(√3-（a^2+b^2 )/2（a^2-b^2 ) 《S《1/8*（a^2+b^2)(√3+（a^2+b^2 )/2（a^2-b^2 ) (左边是负的话就加绝对值。。等号成立条件见下）
建立复平面 每个字母对应的复数为其小写字母 设o=0 b=(-x,0) e=(x,0) c=x0+iy0 a=x1+iy1 d=x2+iy2 由等边三角形的条件有 a-b=(cos60+isin60)(c-b) d-e=(cos60-isin60)(c-e) 化简得 x1=(x0-x-√3y0)/2 y1=(y0+√3(x0+x))/2 x2=(x0+x+√3y0)/2 y2=(√3(x-x0)+y0)/2 这样A D O 的坐标都用x0 y0 表示出来了 则S=(x1y2-x2y1)/2 =1/8*(√3y0^2+√3(x-x0)^2+√3y0^2+√3(x+x0)^2+4x*y0) 又由c到b的距离=a(图中长度）c到e的距离=b(图中长度） 有（x-x0)^2+y0^2=b^2 （x+x0)^2+y0^2=a^2---* 则S=1/8*(√3(a^2+b^2)+4x*y0) 此题关键在于求x*y0的范围 由*二式可推得 x0=(a^2-b^2)/4x 带回其中一式可得 a^2+b^2=2y0^+x^2+x^2+(a^2-b^2)^2/16x^2 运用四次基本不等式可得 -（a^2+b^2 )^2/2（a^2-b^2)《4y0*x《 (a^2+b^2 )^2/2（a^2-b^2) iff x=+ - √(a^2-b^2)/2√2) 打的我累死了。。。。其中可能有一些小问题 我也不知道算错了没 不过大题思路和解法应该对了 做了半小时打了半小时。。。。

收起

以下S表面积
SAOD=1/2(SABD+SAED)
计∠ACD=x
x>=120°时
SABD=SABC+SACD+SBCD
SAED同理
SABC与SCDE定值
SBCD=SACE
只需求max（SACD+SBCD）
只需求max（sinx+sin（300-x））
x=150时最大
x<=120°亦为150...

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以下S表面积
SAOD=1/2(SABD+SAED)
计∠ACD=x
x>=120°时
SABD=SABC+SACD+SBCD
SAED同理
SABC与SCDE定值
SBCD=SACE
只需求max（SACD+SBCD）
只需求max（sinx+sin（300-x））
x=150时最大
x<=120°亦为150°时最大
即面积最大值在x=150°时取到
此时SAOD=[（根号3）/8](a^+b^)+1/2ab

收起

连结BD,AE

剩下的看图吧

这题的确复杂，可以建立直角坐标系。设立旋转角度参数，可以求出的。