设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性(2)求f(x)的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/08 10:25:53
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设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性(2)求f(x)的最小值
设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R
(1)讨论f(x)的奇偶性
(2)求f(x)的最小值
设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R(1)讨论f(x)的奇偶性(2)求f(x)的最小值
设a为实数,函数f(x)=x²+|x-a|+1,x∈R
(1)讨论f(x)的奇偶性
a=0,f(x)为偶函数,a不等于零,f(x)非奇非偶
(2)求f(x)的最小值
x>=a f(x)=x²+|x-a|+1=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2-a+3/4
x0 f(x)的最小值=-a+3/4
a
1) f(x) – f(-x) = x2+|x-a| + 1 – (x2 + |x-a| + 1)
=|x-a|-|x+a|
这个式子只有在a=0的时候才恒等于0
f(x) + f(-x) = 2x2 + |x-a|+|x+a|+2
这个式子大于等于2,永远不可能为0
因此,a=0的时候f(x)是偶函数,其他情况f(x)非奇非偶。
2)通过...
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1) f(x) – f(-x) = x2+|x-a| + 1 – (x2 + |x-a| + 1)
=|x-a|-|x+a|
这个式子只有在a=0的时候才恒等于0
f(x) + f(-x) = 2x2 + |x-a|+|x+a|+2
这个式子大于等于2,永远不可能为0
因此,a=0的时候f(x)是偶函数,其他情况f(x)非奇非偶。
2)通过x的取值区间把绝对值去掉,得到
f(x) = x2+x-a+1 = (x-1/2)2 –a + 3/4 x>a 1)
f(x) = x2-x+a+1 = (x+1/2)2 +a + 3/4 x<=a 2)
当a<= -1/2 时,1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2 式的f(x)min = f(a)= a2+1
比较两个最小值综合起来 f(x)min = -a + 3/4
当0>=a>-1/2时,1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2式的f(x)min = f(-1/2) = a+ 3/4
比较两个最小值综合起来f(x)min = a + 3/4
当1/2>=a>0时,1式的f(x)min = f(1/2) =-a + 3/4
2式的f(x)min = f(-1/2) = a+ 3/4
比较两个最小值综合起来f(x)min = -a + 3/4
当a>= 1/2 时,1式的f(x)min = f(a) = a2++2a+1
2 式的f(x)min = f(-1/2)= =a + 3/4
比较两个最小值综合起来 f(x)min = a + 3/4
因此最终当a<= -1/2 时,f(x)min = -a + 3/4
当0>=a>-1/2时,f(x)min = a + 3/4
当1/2>=a>0时,f(x)min = -a + 3/4
当a>= 1/2 时,f(x)min = a + 3/4
百度上也有其他解法,但是我认为那个解法考虑的不够周全,他的解法每次都只考虑了其中的一种情况,如x>a而没有把xa的部分取得一个极小值,但是却不是整个函数的最小值,这个最小值完全有可能出现在x
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