基础解系怎么求?

基础解系怎么求?
基础解系怎么求?

基础解系怎么求?
基础解系首先是线性无关的,简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解,基础解系是针对有无数多组解的方程而言,若是齐次线性方程组则应是有效方程组的个数少于未知数的个数,若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且都小于未知数的个数.基础解系不是唯一的,因个人计算时对自由未知量的取法而异,但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系.
对于一个方程组,有无穷多组的解来说,最基础的,不用乘系数的那组方程的解,如（1,2,3）和（2,4,6）及（3,6,9）以及（4,8,12）.等均符合方程的解,则系数K为1,2,3,4.等,因此（1,2,3）就为方程组的基础解系.
A是n阶实对称矩阵,
假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann,t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1,t2~tn的分别为b2~bn
此时,Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零.由于:Ax=0Ax=0*B,B为A的特征向量,对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起.这是基础解系和通解的关系.
设n为未知量个数,r为矩阵的秩.只要找到齐次线性方程组的n-r 个自由未知量,就可以获得它的基础解系.具体地说,我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形,那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端,其余n-r 个未知量移到等式右端,再令右端 n-r个未知量其中的一个为1,其余为零,这样可以得到 n-r个解向量,这 n-r个解向量构成了方程组的基础解系.

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