这个证明错在哪里?

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这个证明错在哪里?

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最后一个等式出错,因为对于任意x,这样的ξ只是存在的,并不是对于任意ξ<x都成立的,把上面的式子用ε-δ语言描述出来就比较清楚,极限的要求是对任意ε>0,∃δ,当|x-x0|<δ时,都要有
|f‘(x)-f’(x0)|<ε,
（1）式子
表达的意思是,对于∀ε>0,∃δ,当|x-x0|<δ时,∃ξ,|ξ-x0|<|x-x0|使
|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε,
（2）而式子
表达的意思是,对于∀ε>0,∃δ,当|ξ-x0|<δ时,就有
|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε,
这样差别就出来了,（1）说明无论多么小的x,内部总有ξ使|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε成立,但是除ξ以外的其他点不清楚,ξ可能是某一特殊的趋向x0的点列,这不能说明f'(x)在x0连续.(2)说明当ξ充分小时,就有|f‘(ξ)-f’(x0)|<ε,也即某个ξ0使|f‘(ξ0)-f’(x0)|<ε成立时,满足|ξ-x0|≤|ξ0-x0|的ξ都要满足|f‘(ξ0)-f’(x0)|<ε,这其实表明f'（x）在x0是连续的.此外,由(2)成立可推(1)成立,即说明该等式在f'(x)连续时是成立的.
为了形象说明,以狄利克雷函数为例,该函数在有理点取值1,无理点取值0,因此不妨取x=1/2这一点来考虑,显然有f（1/2）=1,且对于∀ε>0,∃δ,当|x-1/2|<δ,总存在有理点|ξ-1/2|<|x-1/2|<δ,使|f(ξ)-f(1/2)|=|1-1|=0<ε成立,但是对于无理点ξ‘满足|ξ’-1/2|<|x-1/2|<δ却总有
|f(ξ‘)-f(1/2)|=|0-1|=1,于是狄利克雷函数虽然满足(1)但是不满足(2),所以狄利克雷函数不是连续的.
这道题反例可举x²sin(1/x)来说明证明错误,x²sin(1/x)的导函数是
0                                    (x=0)
2xsin(1/x)-cos(1/x)        （x≠0）
但是取点列ξ=xn=1/[(n+1/2)π]时,满足(1)式,且无论x多小,总能取得n充分大使0<ξ<x
但是有一个有趣的结论是f’（x）是有界变差函数或单调函数时,f‘(x)一定连续
理由是f’(x)不能有第一类间断点,而单调函数和有界变差函数只有第一类间断点,故此时
f‘(x)无间断点即连续.

最后一个等式相当于已经用了f '(x)的连续性了。

怎么使用了f'(x)的连续性了？能否说得具体一点？

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