一道函数问题(应该很简单,本人处于入门阶段)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3) (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数,求a的

一道函数问题(应该很简单,本人处于入门阶段)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3) (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数,求a的
一道函数问题(应该很简单,本人处于入门阶段)
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.

一道函数问题(应该很简单,本人处于入门阶段)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3) (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数,求a的
楼上没有写出本题的解答.
第一题：
令 f(x) = ax^2+bx+c
因不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3),知 a0
解得
a-2+√3
所以
a的取值范围是 (-∞,-2-√3)∪(-2+√3,0)

二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。
设f (x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。
1．当两根都在区间(α,β)内，方程系...

全部展开

二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。
设f (x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。
1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：
∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)
当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0
当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0
两种情形合并后的充要条件是：
Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①
2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：
∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）

从四种情形得充要条件是：
f (α)·f (β)＜0 ②
3．当两根都不在区间〔α，β〕内方程系数所满足的充要条件：
（1）两根分别在区间〔α，β〕之外的两旁时：
∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：
当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0
当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0
两种情形合并后的充要条件是：
af (α)＜0，af (β)＜0 ③
（2）两根分别在区间〔α，β〕之外的同旁时：
∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：
当 x1＜x2＜α时的充要条件是：
Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④
当β＜x1＜x2时的充要条件是：
Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤
例9．已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P的取值为 。
记f(x)=x2+2px+1，则f(x)r的图象开口向上，当f(x)与x轴的两交点一个在（1,0）左方，另一个在（1,0）右方时，必有f(1)＜0，即：
12+2P＋1＜0，即P＜－1
所以P的取值为（－∞，－1）
例10．如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，试确定m的范围。
令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一（图5）：
得充要条件：（1-m2）f(0)＜0,(1-m2)f(1)＜0；即1-m2＞0,(1-m2)(2m-m2)＜0
解得：-1＜m＜0
例11．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根，（北京市1994年高中一年级数学竞赛复赛试题）。
证明：已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=(b-1)2-4ac＜0
若a＞0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方，
∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。
∴对f(x)，
有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立
∴f(f(x))=x无实根
若a＜0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方
∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立
∴对任意实数x，f(x) ＜0恒成立
∴对实数f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立
∴f(f(x))=x无实根
综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x))=x也无实根
五．二次函数与二次不等式
前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。
例12．对二次函数f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，求证，必存在x=±M≠0，使f(±M)均与a同号。
分析：这是一道证明题。从图象上看，当a＞0时，抛物线开口向上，f(x)＞0的解集要么为全体实数集合R（△＜0)；要么为（-∞,x0）∪(x0,+ ∞)(Δ=0,f(x0)=0)，要么为（-∞,x1）∪(x2,+∞) (Δ＞0,f(x1)=f(x2)=0)，故总可以找到±M≠0，±M∈R，或±M∈（-∞,x0）∪(x0,+∞)，或±M∈（-∞,x1）∪(x2,+∞)，使f(±M)＞0，因此af(±M)＞0，对于a＜0的情形，也是如此，只不过f(±M)＜0，从代数的角度看问题，af(x)＞0即a2x2+abx+ac＞0 ①它有解且解集合中包含着x=M与x=-M（M≠0）一对相反数，因此，需考虑①所对应的二次方程的判别式。
证明：∵f(x)= ax2+bx+c(a≠0)
∴af(x)= a2x2+abx+ac=1/4〔4a2x2+4abx+4ac〕=1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)
∴af(x)＞0即:1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)＞0
亦即(2ax+b)2-(b2-4ac)＞0
（1）当Δ=b2-4ac＜0时，af(x)＞0的解集为(-∞,+∞)
（2）当Δ=b2-4ac=0时，af(x)＞0的解集为(-∞,-b/2a)∪（-b/2a,+∞)
（3）当Δ=b2-4ac＞0时，方程af(x)=0有两个不等的实数根x1,x2(x1＜x2)，相应的不等式af(x)＞0的解集合为：（-∞,x1）∪(x2,+∞)
因为三种情况下的解集合均为无穷区间，故均存在-M与M同属于解集合，使af(±M)＞0，从而a与f(±M)同号。
例13．若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)
证明：构造二次函数
f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2=(a12+a22+…+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+b2n)
当a12+a22+…+a2n≠0即a1,a2,…,an不全为零时，显然有对x∈R，f(x)≥0，故f(x)＝0的判别式：Δ=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4(a12+a22+…+a2n)·(b12+b22+…+b2n)≤0
即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)·(b12+b22+…+b2n)
当a1=a2=…=an=0时，结论显然成立，故命题成立。
[评注]本例中的不等式即是著名的柯西不等式，有时它也写作。等号当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时成立。
例14．设二次函数f(x)= ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1/a。
（1）当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x1
（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜x1/2。
〔分析〕该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第24题，它综合考查二次函数、二次方程和不等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力，当年没有几个考生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考：
从代数角度看，f(x)是二次函数，从而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0(a＞0)是二次方程，由于x1,x2是它的两个根，且方程中x2的系数是a，因此有表达式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)进而，利用二次函数的性质和题设条件，可得第（1）问的证明。
从几何角度看，抛物线y=f(x)-x开口向上，因此在区间〔x1,x2〕的外部，f(x)-x＞0，（1）的左端得证。其次，抛物线y=f(x)的开口也向上，又x1=f(x1)，于是为了证得（1）的右端，相当于要求证明函数f(x)在区间〔0,x1〕的最大值是f(x1)，这相当于证明f(0)≤f(x1)，也即C≤x1，利用韦达定理和题设，立即可得。
至于（Ⅱ）的证明，应用配方法可得x0=-b/2a，进而利用韦达定理与题设，即得证明。
证明：①欲证：x＜f(x)＜x
只须证：0＜f(x)-x＜x1-x ①
因为方程f(x)-x=0的两根为x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
①式即: 0＜a(x-x1)(x-x2)＜x1-x ②
∵a＞0，x∈(0,x1),x1-x＞0,∴a(x1-x)＞0
②式两边同除以a(x1-x)＞0，得：0＜x2-x＜1/a，即：x＜x2＜1/a+x
这由已知条件：0＜x＜x1＜x2＜1/a，即得：x＜x2＜(1/a)＜1/a+x，
故命题得证。
（2）欲证x0＜x1/2，因为x0=-b/2a，故只须证：x0-x1/2=-b/2a-x1/2＜0 ③
由韦达定理，x1+x2=(-b-1)/a，(x1+x2)/2=-(b-1)/2a，代入③式，有(-(b/2a))-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a))＜0
即：x2＜1/a
由已知：0＜x1＜x2＜1/a，命题得证。
〔评注〕证（1）用到了二次函数的零点式f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
证（2）用到了x0=-(b/(2a)),((x1+x2)/2)=-((b-1)/2a)，都是二次函数二次方程的基础知识。
六、“四个二次型”的综合运用
二次三项式、一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是相辅相成的一个有机整体，函数的研究离不开方程和不等式；方程和不等式的解的讨论同样要结合函数的性质。
例15．当K为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根α和β分别满足0＜α＜1和1＜β＜2？
〔分析〕它是一个一元二次方程的问题，利用求根公式解出α、β，再解不等式0＜α＜1和1＜β＜2顺理成章，但计算变形较繁难。如果把此题的方程的左端看作是一个二次函数的话，结合函数的图象和性质来解此题，那就简便得多了。
设y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，则因为a=7＞0，且方程f(x)=0有两实根α，β，所以它的图象是开口向上且与X轴相交于两点（α,0）、(β,0)的抛物线。由于0＜α＜1，1＜β＜2，可知在x＜α或x＞β时，f(x)取正值；在α＜x＜β时，f(x)取负值。于是，当x分列取0,1，2时，有：f(0)=k2-k-2＞0，f(1)=k2-2k-8＜0，f(2)=k2-3k＞0解这三个不等式组成的不等式组，可得-2＜k＜-1和3＜k＜4。
显然，上述三个一元二次不等式解起来要容易得多。
例16．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在〔-3,3〕上的最小值是 。
〔分析〕这是1996年北京高中一年级数学竞赛的复试题，是一个四次函数的最值问题。表面上看起来很难。但借助于配方法、换元法及二次函数极（最）值性质，可得结果。
∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5
=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5
=(x2+5x+5)2+4
设Z=x2+5x+5，则y=Z2+4，对Z=x2+5x+5=(x+5/2)2-5/4，x∈[-3,3]，易知Zmin=-5/4，Zmax=29
∴y=Z2+4，Z∈[-5/4,29]抛物线开口向上，对称轴Z=0∈[-5/4,29]，∴ymin=4
故y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在〔-3,3〕上的最小值是4。
习题三
1．f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为轴对称，已知当x∈(-2,2]时f(x)的表达式为-x2+1，则当x∈(-6,-2)时，f(x)的表达式是：(A)-x2+1，（B）-(x-2)2+1，(C)-(x+2)2+1，（D）-(x+4)2+1。 （ ）
2．已知x2-4x+b=0的一个根的相反数为x2＋4x-b=0的根，则x2+bx-4=0的正根为 。
3． 已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且f(-1)=-2，又f(x)≥2x对一切x∈R都成立，求a+b=?
4．设θ∈[0,π]，关于x的方程x2-2∣x∣cosθ+1=0有实根，则4x2+13∣x∣+23= 。
5．已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根x1与x2，设P=x12002+x22002,q=x12001+x22001,r=x12000+x22000则ap+bq+cr= 。
6．若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜0)满足f(x+2)=f(2-x)，那么f(0),f(-2002),f(2002)的大小关系是（A）f(0)＜f(2002)＜f(-2002)，(B)f(2002)＜f(0)＜f(-2002)，(C)f(-2002)＜f(0)＜f(2002)，(D)f(-2002)＜f(2002)＜f(0)
7．若sin2x+cosx+a=0有实根，试确定实数a的取值范围是什么？
8．已知x,y都是实数，C=x2+y2-xy-x+y，则C的最小值等于 。
9．代数式2x2+2xy+2y2+2x+4y+5的最小值为：（A）0 （B）5 （C）9/2 （D）3
10．函数f(x)=x4-2x2+2的单调增区间是：（A）[1,+∞)，（B）(-∞,-1)∪[1,+∞)，(C)[-1,0]∪[1,+∞)，(D)以上都不对
11．若二次函数f(x)=ax2+bx，有f(x1)=f(x2)(x1≠x2)则f(x1+x2)= 。
12．给定函数f(x)=x2+ax+b设P，q是满足P+q=1的实数，证明，若对于任意的实数x,y，均有：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，则0≤p≤1

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