函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.(说明:x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x;n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/13 18:44:11
![函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.(说明:x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x;n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的](/uploads/image/z/12396854-38-4.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%E6%98%AF%E5%8C%BA%E9%97%B4%5Ba%2Cb%5D%E2%86%92%5Ba%2Cb%5D%E7%9A%84%E6%98%A0%E5%B0%84+%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E6%9F%90%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0n%2Cf%E6%9C%892%5En-%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%82%B9%E6%B1%82%E8%AF%81f%E5%BF%85%E6%9C%892-%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%82%B9%2C2%5E2-%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%82%B9%2C%E2%80%A6%2C2%5E%28n-1%29%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%82%B9.%EF%BC%88%E8%AF%B4%E6%98%8E%EF%BC%9Ax%E6%98%AFf%E7%9A%842-%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%82%B9%2C%E9%82%A3%E4%B9%88+f%28f%28x%29%29%3Dx%EF%BC%9Bn-%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%82%B9%E5%B0%B1%E6%98%AF%E5%8F%8D%E5%A4%8D%E8%BF%AD%E4%BB%A3n%E6%AC%A1%E4%B9%8B%E5%90%8E%E7%9A%84%E5%80%BC%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%9A%84)
函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.(说明:x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x;n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的
函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点
求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.
(说明:x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x;n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的x值)
不好意思……怪我之前没解释清楚
n-周期点定义:
如果x是f的一个周期点,那么x的一切周期中的最小者成为x的最小周期。
如果x的最小周期是n,则称x是f的一个n-周期点
注意 题目中f是连续函数。
函数f是区间[a,b]→[a,b]的映射 若对某个正整数n,f有2^n-周期点求证f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点.(说明:x是f的2-周期点,那么 f(f(x))=x;n-周期点就是反复迭代n次之后的值等于初始的
这是Sharkovskii定理的特殊情况.
把1-周期点(即不动点)也加入到结论里,然后归纳基础就可以简单一些
为简单起见,闭区间[u,v]和[v,u]都表示{x:min{u,v}=1),那么x1作为g(x)的周期点以2^{n-k-1}为一个周期,所以只有k=1才能使条件(即x1是g(x)的2^{n-2}-周期点)成立,于是x1是f(x)的2^{n-1}-周期点.
记f(f(x))=x为f[2]=x
对某个正整数n,f有2^n-周期点,即f[2^n]=x
f[2]=f(f),f[4]=f(f(f(f)))=f[2](f[2]),显然有f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])
记f[2^(n-1)]=F,故f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])=F(F)=x,故f有2-周期点
又f[2^(n...
全部展开
记f(f(x))=x为f[2]=x
对某个正整数n,f有2^n-周期点,即f[2^n]=x
f[2]=f(f),f[4]=f(f(f(f)))=f[2](f[2]),显然有f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])
记f[2^(n-1)]=F,故f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])=F(F)=x,故f有2-周期点
又f[2^(n-1)]=f[2^(n-2)](f[2^(n-2)]),
得f[2^n]=f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)])))=T(T(T(T)))=T[2](T[2])=x,故f有2^2-周期点
设f[2^k]=f[2^(k-1)](f[2^(k-1)])
当k=n时,f[2^n]拆分2^(n-k+1)次,得f[2^n]=f[2^(n-1)](f[2^(n-1)])=x成立(共2^1个f[2^(n-1)])
当k=n-1时,f[2^n]拆分2^(n-k+1)次,得f[2^n]=f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)](f[2^(n-2)])))=x成立(共2^2个f[2^(n-2)])
..
当k=3时,f[2^n]拆分2^(n-2)次,得f[2^n]=f[4](f[4](f[4](..(f[4])..)))=x成立(共2^(n-2)个f[4])
当k=2时,f[2^2]=f[2^(2-1)](f[2^(2-1)])=f[2](f[2]),f[2^n]=f[4](f[4](f[4](..(f[4])..)))=f[2](f[2](f[2](..(f[2])..)))=x成立(共2^(n-2)*2即2^(n-1)个f[2]),即f有2^(n-1)周期点
故f必有2-周期点,2^2-周期点,…,2^(n-1)周期点成立
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