求高手回答,定积分.或者告诉一下,解此题需要哪些知识.下面有图.积分区间:0到正无穷;被积函数:分子是exp(-pi*x)-exp(-2pi*x);分母是x。这个积分不发散,我用数学软件算过,答案与书上的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 19:48:10
![求高手回答,定积分.或者告诉一下,解此题需要哪些知识.下面有图.积分区间:0到正无穷;被积函数:分子是exp(-pi*x)-exp(-2pi*x);分母是x。这个积分不发散,我用数学软件算过,答案与书上的](/uploads/image/z/12431804-68-4.jpg?t=%E6%B1%82%E9%AB%98%E6%89%8B%E5%9B%9E%E7%AD%94%2C%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86.%E6%88%96%E8%80%85%E5%91%8A%E8%AF%89%E4%B8%80%E4%B8%8B%2C%E8%A7%A3%E6%AD%A4%E9%A2%98%E9%9C%80%E8%A6%81%E5%93%AA%E4%BA%9B%E7%9F%A5%E8%AF%86.%E4%B8%8B%E9%9D%A2%E6%9C%89%E5%9B%BE.%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%9A0%E5%88%B0%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%EF%BC%9B%E8%A2%AB%E7%A7%AF%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%9A%E5%88%86%E5%AD%90%E6%98%AFexp%28-pi%2Ax%29-exp%28-2pi%2Ax%29%EF%BC%9B%E5%88%86%E6%AF%8D%E6%98%AFx%E3%80%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E7%A7%AF%E5%88%86%E4%B8%8D%E5%8F%91%E6%95%A3%EF%BC%8C%E6%88%91%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BD%AF%E4%BB%B6%E7%AE%97%E8%BF%87%EF%BC%8C%E7%AD%94%E6%A1%88%E4%B8%8E%E4%B9%A6%E4%B8%8A%E7%9A%84)
求高手回答,定积分.或者告诉一下,解此题需要哪些知识.下面有图.积分区间:0到正无穷;被积函数:分子是exp(-pi*x)-exp(-2pi*x);分母是x。这个积分不发散,我用数学软件算过,答案与书上的
求高手回答,定积分.或者告诉一下,解此题需要哪些知识.下面有图.
积分区间:0到正无穷;
被积函数:分子是exp(-pi*x)-exp(-2pi*x);分母是x。
这个积分不发散,我用数学软件算过,答案与书上的答案一样。
求高手回答,定积分.或者告诉一下,解此题需要哪些知识.下面有图.积分区间:0到正无穷;被积函数:分子是exp(-pi*x)-exp(-2pi*x);分母是x。这个积分不发散,我用数学软件算过,答案与书上的
首先声明(a,b)∫f(x)dx,积分上限为b(右边那个),下限为a,即a到b,不要看反了
楼上,无穷-无穷是不定型,是可能收敛的.
3种方法做这个题
1.二重积分转化法
积分可看作
F(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)]/xdx
F(1)-F(2)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]/xdx
f(y)=F'(y)
就相当于I=(2,1)∫f(y)dy
f(y)=(0,+∞)∫∂[e^(-πyx)]/∂y*1/xdx
=(0,+∞)∫e^(-πyx)*(-πx)*1/xdx
=(0,+∞)∫e^(-πyx)*(-π)dx
=-1/y
对f(y)积分
(2,1)∫f(y)dy=(2,1)∫(-1/y)dy=ln2
2.收敛因子法
乘以收敛因子e^(-xy)可以稍微弱化函数条件
F(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*e^(-yx)/xdx
I可以看作I=F(0)-F(+∞)=(+∞,0)∫F(y)dy
被积函数有一阶连续偏导数
求导就是对被积函数求y的偏导数后再积分∂
F'(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*∂[e^(-yx)]/∂ydx
=-(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*e^(-yx)dx
=-(0,+∞)∫[e^(-πx-yx)-e^(-2πx-yx)]dx
=-(0,+∞)[-e^(-πx-yx)/(π+y)-e^(-2πx-yx)/(2π+y)]dx
=-[1/(π+y)-1/(2π+y)]
故积分=F(0)-F(+∞)=-(0,+∞)∫[π/(π+y)-2π/(2π+y)]dy
=-(0,+∞)∫ln[(π+y)/(2π+y)]=ln2
3.拉普拉斯变换法
f(t)=(0,+∞)∫[e^(-πtx)-e^(-2πtx)]/xdx
F(s)=(0,+∞)∫{(0,+∞)∫[e^(-πtx)-e^(-2πtx)]/xdx}*e^(-st)dt
s=σ+jω,σ任意取一个使积分收敛的值
交换积分次序
F(s)=(0,+∞)∫dx(0,+∞)∫[e^(-πtx-st)-e^(-2πtx-st)]/xdt
=(0,+∞)∫[1/(πx+s)-1/(2πx+s)]*1/xdx
=1/s*(0,+∞)∫[-π/(πx+s)+2π/(2πx+s)]dx
=1/s*(0,+∞)∫[-π/(πx+s)+2π/(2πx+s)]dx
=ln2/s
再取拉普拉斯逆变换
1/s的逆变换为u(t)
所以f(t)=u(t)
积分=f(1)=ln2