imo数学题4.设n >= 3.t_1,t_2,...,t_n > 0 满足n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ...+ t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ...+ 1/t_n)证明t_1,t_2,...,t_n中随便取3个数都能构成一个三角
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 07:27:31
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imo数学题4.设n >= 3.t_1,t_2,...,t_n > 0 满足n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ...+ t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ...+ 1/t_n)证明t_1,t_2,...,t_n中随便取3个数都能构成一个三角
imo数学题
4.设n >= 3.t_1,t_2,...,t_n > 0 满足
n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ...+ t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ...+ 1/t_n)
证明t_1,t_2,...,t_n中随便取3个数都能构成一个三角
imo数学题4.设n >= 3.t_1,t_2,...,t_n > 0 满足n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ...+ t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ...+ 1/t_n)证明t_1,t_2,...,t_n中随便取3个数都能构成一个三角
反证法,不妨设t_1+t_2=t_2
let t_i=(k_i)^2,k_1=(k_3)sina,k_2
1
>(t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)-n^2
=(t_1/t_2+t_2/t_1-2)+(t_1/t_3+t_3/t_1-2)+...+(t_1/t_n+t_n/t_1-2)
+(t-2/t_3+t_3/t_2-2)+(t_2/t_4+t_4/t_2-2)+...+(t_2/t_n+t_n/t_2-2)
+...+(t_(n-1)/t_n+t_n/t_(n-1)-2)
>=(t_1/t_2+t_2/t_1-2)+(t_1/t_3+t_3/t_1-2)+(t_2/t_3+t_3/t_2-2)
=(k_1/k_2-k_2/k_1)^2+(k_2/k_3-k_3/k_2)^2+(k_1/k_3-k_3/k_1)^2
>=(sina/cosa-cosa/sina)^2+(cosa-1/cosa)^2+(sina-1/sina)^2
=2/(sinacosa)^2-7
>=2/(1/4)-7
=