若f(x)在[0,a]上连续,在（0,a）内可导,a>0,且f(0)=1,f(a)=0,证明（1）至少存在一点&属于（0,a）使得f（&）=&/a; (2)在（0,a）必存在x1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/08 12:08:41
若f(x)在[0,a]上连续,在（0,a）内可导,a>0,且f(0)=1,f(a)=0,证明（1）至少存在一点&属于（0,a）使得f（&）=&/a; (2)在（0,a）必存在x1
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若f(x)在[0,a]上连续,在（0,a）内可导,a>0,且f(0)=1,f(a)=0,证明（1）至少存在一点&属于（0,a）使得f（&）=&/a; (2)在（0,a）必存在x1
若f(x)在[0,a]上连续,在（0,a）内可导,a>0,且f(0)=1,f(a)=0,证明（1）至少存在一点&属于（0,a）
使得f（&）=&/a; (2)在（0,a）必存在x1

若f(x)在[0,a]上连续,在（0,a）内可导,a>0,且f(0)=1,f(a)=0,证明（1）至少存在一点&属于（0,a）使得f（&）=&/a; (2)在（0,a）必存在x1
(1)证明：令g(x)=f(ax)-x,则g(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且g(0)=1,g(1)=-1,所以由介值定理知存在c属于（0,1）使得g(c)=0.即f(ac)-c=0.令&=ac,则&属于（0,a）,且f(&)=&/a.
(2)证明：分别考虑（0,&）和（&,a）由拉格朗日定理知存在x1属于（0,&）和x2属于（&,a）分别满足：
f'(x1)=[f(&)-f(0)]/(&-0)=(&/a -1)/& =(&-a)/a&
f'(x2)=[f(a)-f(&)]/(a-&)=(-&/a)/(a-&)=&/[a(&-a)]
且f'(x1)f'(x2)=1/(a^2).

(1)证明：令g(x)=af(x)-x,则g(x)在[0,a]上连续，在（0，a）内可导，且g(0)=a,g(1)=-a,所以由介值定理知存在c属于（0,a）使得g(&)=0。即即f(&)=&/a.
(2)证明：分别考虑（0，&）和（&，a）由拉格朗日定理知存在x1属于（0，&）和x2属于（&，a）分别满足：
f'(x1)=[f(&)-f(0)]/(&-0)=(&/a -1)/& ...

全部展开

(1)证明：令g(x)=af(x)-x,则g(x)在[0,a]上连续，在（0，a）内可导，且g(0)=a,g(1)=-a,所以由介值定理知存在c属于（0,a）使得g(&)=0。即即f(&)=&/a.
(2)证明：分别考虑（0，&）和（&，a）由拉格朗日定理知存在x1属于（0，&）和x2属于（&，a）分别满足：
f'(x1)=[f(&)-f(0)]/(&-0)=(&/a -1)/& =(&-a)/a&
f'(x2)=[f(a)-f(&)]/(a-&)=(-&/a)/(a-&)=&/[a(&-a)]
且f'(x1)f'(x2)=1/(a^2).

收起

若函数f(x)在[a,b]上连续,a 若f(x)在[a,b]上连续,a 若函数f(x)在[a,b]上连续,a 若函数f(x)在[a,b]上连续,a 证明:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导(0 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 f(x)在a到b上连续,f(x) 设函数f(x)在[a,+∞)上连续 并在(a,+∞)内可导 且f'(x)>k(其中k>0) 若f(a) 设函数f(x)在[a,+∞)上连续 并在(a,+∞)内可导 且f'(x)>k(其中k>0) 若f(a) 如果f'(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(a)≥0,f''(x)>0,证明f(b)>f(a) 设函数f(x)在对称区间【-a,a】上连续,证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx 【50分高数微积分题】设f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导 f(a)f(b)>0 f(a)f[(a+b)/2] 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)>0,f(a)f[(a+b)/2] 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2)