设f(x)在[a,b]上连续,a

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/06/07 13:08:54
设f(x)在[a,b]上连续,a
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设f(x)在[a,b]上连续,a
设f(x)在[a,b]上连续,a

设f(x)在[a,b]上连续,a
证明：
令k=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
无妨设f(c)≤f(d),由于q是正数,所以
qf(c)≤qf(d)
pf(c)+qf(c)≤pf(c)+qf(d)
(p+q)f(c)≤pf(c)+qf(d) ①
因为p是正数,从而p+q是正数,所以①式两端同除以p+q,得
f(c)≤[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
即f(c)≤k ②
同理,pf(c)≤pf(d)
pf(c)+qf(d)≤pf(d)+qf(d)
pf(c)+qf(d)≤(p+q)f(d)
[pf(c)+qf(d)]/(p+q)≤f(d)
即k≤f(d) ③
综合②,③两式,得
f(c)≤k≤f(d)
因为f(x)在[c,d]上连续,所以由连续函数的介值定理可知
存在&∈[c,d],使得
f(&)=k
即f(&)=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)
上式两端同乘以p+q,便得
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&) 证完.
注：原题的已知条件有多余的部分,可改述如下：
设f(x)在[c,d]上连续,试证对任意的正数p,q,至少存在一个&属于[c,d],使
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(&).
原已知条件中出现的[a,b],a

本题是对于任何正整数p,q,否则有问题.
构造函数g(x)=pf(c)+qf(d)-(p+q)f(x).
当f(c)=f(d)时,g(c)=0,所以存在一点ζ=c,使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
当f(c)≠f(d)时,g(c)g(d)=pq(f(c)-f(d))(f(d)-f(c))<0.所以函数g(x)至少存在一点ζ∈(a,b),使得g(ζ)=0. ...

全部展开

本题是对于任何正整数p,q,否则有问题.
构造函数g(x)=pf(c)+qf(d)-(p+q)f(x).
当f(c)=f(d)时,g(c)=0,所以存在一点ζ=c,使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
当f(c)≠f(d)时,g(c)g(d)=pq(f(c)-f(d))(f(d)-f(c))<0.所以函数g(x)至少存在一点ζ∈(a,b),使得g(ζ)=0. 即至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).

收起

设f(x)在[a,b]上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且f'(x) 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) 设函数f 在[a,b]上连续,M=max|f(x)|(a 证明:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导(0 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续. 【50分高数微积分题】设f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导 f(a)f(b)>0 f(a)f[(a+b)/2]