隐函数的求导,11题证明题.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/29 09:55:54
隐函数的求导,11题证明题.
xUnG}T`0ò-OѾDU,Ʀa!K'q"` rK 3.U" sϹ{w7{ַpih\u0;ek @Ly7E%nc٧O|>>8pgLFr_|&2KR>$@j)s&KODD>}IFR" # )px¼EAA$J1,JTx!-D"6Rҟe!LDZ|Z*) Ed$RXi}=ݻ/uմ5\ .ke҈w=k^]*sfTB:MTukl7oXm"ok77~ш3?`p$ +ni}ub>7;~ŵ}T:dfMN(d]95e|҈_\ZB#IвVR4{at6!zO ,# ~GTqonc0/(_%Z3v0Mw/w쵡>U9 Z=%>٘X<ƅVQK^,#qڜɺpw~?LQ9[`0H>A]jVWvKb7ďNֱ{o=%6*>W&*H s`"!.&e,ǐ26!>ޒ!ﭳ{ׇ|nm_;

隐函数的求导,11题证明题.
隐函数的求导,11题证明题.
 

隐函数的求导,11题证明题.
解 注意到 y = y(x),先对
    F(x,y,t) = 0,
关于 x 求导,得
    DF/Dx + (DF/Dy)(dy/dx) +(DF/Dt)(Dt/Dx) = 0,
可得
    Dt/Dx = -[DF/Dx + (DF/Dy)(dy/dx)]/(DF/Dt),(*)
最后再对
    y = f(x,t)
关于 x 求导,得
    dy/dx = Df/Dx + (Df/Dt)(Dt/Dx)
代入 (*) 式,得
    dy/dx= Df/Dx + (Df/Dt)*[-(DF/Dx)-(DF/Dy)(dy/dx)]/(DF/Dt),
由此可解得你的式子
…….

先分析一下:
根据所要证明的结论来看,y与x之间的一元函数关系y=y(x)是由方程组y=f(x,t),F(x,y,t)=0确定的。方程组里面有三个变量,能确定两个一元隐函数。既然确定了y=y(x),那么两个隐函数的自变量就是x,因变量是y与t。
两个方程两边都对x求导,得到关于dy/dx与dt/dx的两个二元一次方程,求出dy/dx就是了。
过程:
y=f(x,t)...

全部展开

先分析一下:
根据所要证明的结论来看,y与x之间的一元函数关系y=y(x)是由方程组y=f(x,t),F(x,y,t)=0确定的。方程组里面有三个变量,能确定两个一元隐函数。既然确定了y=y(x),那么两个隐函数的自变量就是x,因变量是y与t。
两个方程两边都对x求导,得到关于dy/dx与dt/dx的两个二元一次方程,求出dy/dx就是了。
过程:
y=f(x,t)两边对x求导:dy/dx=fx+ft*dt/dx。
F(x,y,t)=0两边对x求导:Fx+Fy*dy/dx+Ft*dt/dx=0。
两个式子联立,解出dy/dx=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)。
-----
这里,用全微分的方法会简单些,好处是不用管除了x,y之外的变量的函数关系,过程如下:
对y=f(x,t)求微分:dy=fxdx+ftdt。
F(x,y,t)=0两边求微分:Fxdx+Fydy+Ftdt=0。
两个式子联立,消去dt,求出dy=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)dx,这样就有了最后的结果dy/dx=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)。

收起